灘中学２００６年度入試算数１日目１２番。解答の説明、教えてください。

質問

中学入試の問題の解説してあるサイトで、灘中学の今年の問題の一日目１２番の解答をみたのですが、何故そうなるかが分かりません。どなたかこの解説を詳しく説明してもらえないでしょうか？悩んで悩んで本当に困っています。よろしくお願いします。
http://members.jcom.home.ne.jp/sansuu/nyuushi/06nada/06nada112.html

また、自分なりの解答で、この問題の三角形AB、ACを半径と見立てて弧を描き、底辺と交わった点までの距離１８ｃｍと２４ｃｍを底辺３０ｃｍからそれぞれ引き、出てきた１２ｃｍと６ｃｍをさらに３０ｃｍから引くとPQ１２ｃｍになると思うのですが。。。しかし、自分では
「点B点Cを中心として、辺AB,辺ACを半径とみたてた弧が底辺と交わった点」がそれぞれ点P,点Qからおろした垂線と底辺の交点なのかどうか証明できません。もし、僕の発想が正しいなら、どなたか証明の方法を教えてください。本当によろしくお願いします。

回答No.4

ht1914 · ベストアンサー

＃２のご回答を訂正させて頂きましたが間違っていました。すみません。
＞ＰＲ＝3.6（ＰＨ）×5／4
＞ＱＳ＝3.6（ＱＫ）×5／3
は正しいです。
ただＢＣから引くときにはＰＱ＝ＢＣ－ＰＲ－ＱＳではなくて
ＰＱ＝ＢＣ－３．６×（５／４＋３／４）ー３．６×（５／３＋４／３）
にしないといけません。

改めて説明を入れて書きます。
解答にあるようにＢＣを底辺とする長方形を考えて下さい。ＰＲの延長上にＢからの垂線との交点を取って下さい。交点をＴとします。
△ＢＴＲは△ＡＢＣと相似形です。ＢＴ＝３．６です。ＢＲ＝３．６×（５／４）、ＴＲ＝３．６×（３／４）となります。ＰＲ＝ＢＲですからＴＰ＝ＴＲ＋ＲＰ＝３．６×（５／４＋３／４）＝３．６×２です。
同じように右側も計算すると３．６×（４／３＋５／３）＝３．６×３になります。

丁寧な図を書いて追いかけてみて下さい。

お礼

なんども、ありがとうございます。教えていただいた三角形BTRと三角形ABCが相似なところに気づくことができませんでした。今もあんまり分かってないかも知れません。すみません。（＾＾；；２角が等しい三角形という事でよいのですね。分かり易い解答ありがとうございました。

補足

なんどもすみません。違う解法なのですが、私がみつけたURLの解法の（２）はなぜか分かりません。もしよかったら、手ほどきしていただけませんでしょうか？１：２：３の比のところが分かりません。よろしくお願いします。

回答No.7

age_momo

私も#2,3さんと同じ方法で解くでしょうね。三角形ABCの各辺が１８：２４：３０＝３：４:５から
PQを延長して出来上がった三角形もみな、この比率を持っています。
つまり、PQを延長してAB,ACとの交点をそれぞれR,Sとすると
HR:HP:RP=3:4:5、KQ:KS:QS=3:4:5で今、PH=QK=3.6なので
PR=3.6/4*5=4.5、HR=3.6/4*3=2.7、QS=3.6/3*5=6、KS=3.6/3*4=4.8です。
また、三角形ABCの面積が216、とするとBCを底辺と見たときの高さは（AからBCへ垂直の
線を引いた時の長さ)216*2/30=14.4
また、PからBCに引いた垂線の長さはPHと同じですから3.6
だからAからPQへの垂線の長さは14.4-3.6=10.8
今、問題に書いてあることから五角形AHPQKの面積は108、三角形PHRと三角形KQSの面積を
足すと三角形ARSの面積は121.5となり、RSの長さは121.5*2/10.8=22.5
後はPR(4.5)とQS(6)を引いて22.5-10.5=12
と出すと思います。
図形に細々と面積や辺の長さを書き込んでいくと分かると思います。

お礼

ありがとうございます。図にしっかり書き込んでいくとわかりやすいですね。

回答No.6

Quattro99

解法にある小さな三角形は△ABCと相似ですから、辺の比は3:4:5です。
従って、直角を挟む2辺の和と斜辺の比は7:5です。
小さな正方形の辺2つぶんは直角を挟む2辺の和から斜辺を引いたものに等しいので、小さな正方形の1辺の2倍と斜辺との比は2:5です。
正方形の1辺は斜辺の1/5となります。三角形の短い辺は斜辺の3/5ですから、そこから正方形の1辺を引いた残りは斜辺の2/5です。
もう片方も同様に斜辺の3/5とわかります。

お礼

わかりやくす説明していただいてありがとうございます！これなら、小学生でも方程式をとかずにできますね！

回答No.5

kobby

三角形ＡＢＣは３：４：５の直角三角形だから、
右下の図で、ＡＢ＝３、ＡＣ＝４、ＢＣ＝５、正方形部分の一辺をｘとすると、
ＢＣ＝（３－ｘ）＋（４－ｘ）＝５　よって、ｘ＝１

緑色の三角形の直角を挟む２辺の比はｘ：（３－ｘ）すなわち１：２
水色の三角形の直角を挟む２辺の比はｘ：（４－ｘ）すなわち１：３

お礼

ありがとうございます。まだ、方程式は習ってないけれど、なんとなくつかめた気がします。

回答No.3

ht1914

＃２のご回答を訂正させて頂きます。

＞ＰＲ＝3.6（ＰＨ）×5／4　　
＞ＱＳ＝3.6（ＱＫ）×5／3　

→ＰＲ＝3.6（ＰＨ）×（5／4＋３／４）
　ＱＳ＝3.6（ＱＫ）×（5／3＋４／３）

これで解答との対応が付きますね

お礼

かいとうありがとうございます。しかし、私には高度すぎて何故この式が成立するのかりかいできません。5/4,5／3　とか３／４、４／３とかは何処から導き出されたのか教えてもらえませんでしょうか？お願いします。

補足

経験者様、なぜ、式が成立するのかもう少し詳しくおしえていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

kirigirios

私は後半を次のように解きました。
　ＰＱを左右に延長して、ＡＢ，ＡＣとの交点をＲ、Ｓとし
　ＲＳを3.6から比で求め、
　ＰＲ＝3.6（ＰＨ）×5／4
　ＱＳ＝3.6（ＱＫ）×5／3
　でＰＱの長さが求められます。

freegeo様
　１：２：３のなる理由を教えてください。

お礼

ありがとうございます。何故、5/4や5/3が出てくるのかわからないのです。教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

freegeo

直感で答えを考えても証明できなければ無意味です。
結論から言いますと、あなたの考えられた円の交点とＰ．ＱからＢＣに垂直におろした点は重なりません。なぜなら、ＢＨは7.2cm、ＣＫは10.8cmと解法で答えが出ているからです。
解法は大変シンプルで優れた回答例です。
PからBCに垂直におろした点を仮にH’、QからBCに垂直におろした点を仮にK'とすると、三角形BPHとBPH'は対称な三角形となり、三角形CQKと三角形CQK’も対称な三角形となります、、すべて垂直な角を持つ三角形です。解法のように緑の三角形同士、青の三角形同士を長方形になるようにあわせると、30cｍの底辺を持つ長方形となります。この長方形の面積はABCの半分の面積ですので、18＊24／2／2＝108となります。
ですから長方形の高さは108／30＝3.6です。
(1)＝3.6として(2)＝7.2、(3)10.8cmで解法の下の三角形はABCと相似の3:4:5の直角三角形となります。

お礼

ありがとうございます。やっぱり小学生の直感ではなんともなりませんね。解法の（１）はなんとか理解できたのですが、（２）が全く分かりません。よかったら、何故７．２ｃｍ、１０．８ｃｍとなるか教えていただきたいのですが。。。よろしくお願いします。

補足

すみません。何故、解法ではBH:KC＝２：３なのでしょうか？？？教えてください。よろしくお願いします。