複素関数論の正則性についての質問です。

質問

f(z)=z^2 と　f(z)=|z^2|　の正則性を調べなさい。

この問題の解き方を教えてください。

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が正則
⇔f(z)は次のコーシー・リーマンの微分方程式(Cauchy-
Riemann differential equation)を満たす。
　　　∂u/∂x=∂v/∂y,　∂u/∂y=－∂v/∂x　…(1)

ですから、

・）f(z)=z^2の場合
z=x+iyを代入すると、
f(z)=x^2-y^2+2ixy
となり、 u=x^2-y^2,v=2xy　から、
∂u/∂x=2x,∂u/∂y=-2y,∂v/∂x=2y,∂v/∂y=2x
となり、(1)を満たすので、f(z)=z^2は全てのx,yに対して
正則となります。

・）f(z)=|z^2|=|z|^2の場合
　　z=x+iyを代入すると、
f(z)=x^2+y^2
となって、 u=x^2+y^2,v=0　から、
∂u/∂x=2x,∂u/∂y=2y,∂v/∂x=0,∂v/∂y=0
となりますが、全てのx,yに対して(1)式を満たしていないので正則ではありません。

お礼

わかりました！ありがとうございました。