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正則関数について

複素数C上の正則関数 f:C→C がCにおいて一様連続であるとする。 このとき,fは高々１次の多項式であることを示せ。 という問題です。 リュービルの定理を使うんだろうということはわかるのですが 一様連続性の利用の方法がいまいちわかりません。 よろしくお願いします。

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  • muturajcp
  • ベストアンサー率78% (505/644)
回答No.1

複素数C上の正則関数 f:C→C がCにおいて一様連続であるとすると 任意のε>0に対して あるδ(ε)>0が存在して |z-a|<δ(ε)となる任意の複素数z,aに対して |f(z)-f(a)|<ε だから あるδ(1)>0が存在して |z-a|<δ(1)となる任意の複素数z,aに対して |f(z)-f(a)|<1 となる。 任意の複素数aに対して g:C→C g(a)=f'(a) z≠aのときg(z)={f(z)-f(a)}/(z-a) とgを定義すると lim_{z→a}g(z)=lim_{z→a}{f(z)-f(a)}/(z-a)=f'(a)=g(a)だから g(z)は正則 |z-a|=r<δ(1)上では |g(z)|=|f(z)-f(a)|/r<1/r となるから,最大絶対値の原理から,|z-a|<rにおいても |g(z)|<1/r が成り立つ ここでr→δ(1)とすれば |z-a|<δ(1)において|g(z)|≦1/δ(1) だからM=1/δ(1)とすると |g(a)|=|f'(a)|≦M aは任意だから任意の複素数zに対して |f'(z)|≦M となって f'(z)は有界だから リュービルの定理から f'(z)=定数 だからf'(z)=Bとすると f(z)=∫f'(z)dz=∫Bdz=B∫dz=Bz+C f(z)=Bz+C fは高々1次の多項式である

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