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関数論？の問題

f(z)はz=aで正則とし、f'(a)≠0とし、g(ζ)はζ=f(a)で一位の極で、その留数がAとする。 このとき、Res(g(f(z));a)を求めよ。 という問題が分かりません。どうか教えてください。お願いします。

みんなの回答

  • Jyaikosan
  • ベストアンサー率50% (10/20)
回答No.1

g(ζ)をζ=f(a)でローラン展開します g(ζ) = A/(ζ- f(a))+[定数と(ζ-f(a))の1次以上の項] ・・・(1) ζ=f(z)を代入します g(f(z)) = A/(f(z)- f(a))+[定数と(f(z)- f(a))の1次以上の項] ・・・(2) f(z)はz=aで正則なので z=a でテーラー展開ができます f(z)- f(a) = (z-a)(f'(a)+(z-a)の1次以上の項) ・・・(3) これを(2)へ代入します g(f(z)) = A/((z-a)(f'(a)+(z-a)の1次以上の項))+[定数と(z-a)の1次以上の項] ・・・(4) (4)式の形からg(f(z))はz=aで一位の極を持ちます。留数は Res(g(f(z));a) = (z-a)g(f(z))に z=a を代入した値 = A/f'(a) ・・・(5) です。

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