関数論

質問

ａはＰ'上の点でｆ(ｚ)のシンセイ特異点でないとするとき
(1)ａがｆ(ｚ)のＮ位の零点⇔Ｒｅｓｆ'(ｚ)／ｆ(ｚ)ｄｚ＝Ｎ
　　　　　　　　　　　　　ｚ＝ａ
(2)ａがｆ(ｚ)のＮ位の極⇔Ｒｅｓｆ'(ｚ)／ｆ(ｚ)ｄｚ＝－Ｎ
　　　　　　　　　　　　ｚ＝ａ
であることを示すやり方が解りません。
教えて下さい。

回答No.1

muturajcp

(1)
a　が　f(z)　の　n　位の零点とすると
z=a のある近傍　U={z||z-a|<r}(r>0)　で
f(z)=(z-a)^nf_n(z)
とかける。
f_n(z)　は　U　で正則で　f_n(a)≠0　である
f'(z)=n(z-a)^{n-1}f_n(z)+(z-a)^nf'_n(z)
だから
f'(z)/f(z)=n/(z-a)+f'_n(z)/f_n(z)
f_n(z) は　z=a で零点も極も持たないから,
留数Res_a(f'(z)/f(z))=Res_a(n/(z-a))=n
a　が　f(z)　の　n=N　位の零点とすると
留数Res_a(f'(z)/f(z))=n=N　となる
留数Res_a(f'(z)/f(z))=N とすると
n=Nとなり　a　は　f(z)　の　N　位の零点となる
(2)
a　が　f(z)　の　m　位の極とすると
1/f(z)=(z-a)^mg(z) (g(a)≠0)
f'(z)=(-mg(z)-(z-a)g'(z))/((z-a)^{m+1}{g(z)}^2)
f'(z)/f(z)=-m/(z-a)-g'(z)/g(z)
となるから
留数Res_a(f'(z)/f(z))=Res_a(-m/(z-a))=-m
a　が　f(z)　の　n=N　位の極とすると
留数Res_a(f'(z)/f(z))=-n=-N　となる
留数Res_a(f'(z)/f(z))=-N とすると
-m=-Nとなり　a　は　f(z)　の　N　位の極となる