• ベストアンサー

教えてください

a(複素平面)を正則関数ｆの孤立特異点とする。この時aがｎ位の零点ならばaはf '/fの一位の極で、Res{(f '/f),a}=n をしめせ

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

f を a 中心にテイラー展開して、f'/f へ代入する。 後は、留数定理。

daido1
質問者

お礼

わかりました。ありがとうございます

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

noname#152422
noname#152422
回答No.1

こっちはローラン展開のところを読めばわかります。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 複素関数論

    複素関数の各特異点における留数を求める問題なのですが、 ・z/sinz を求めたいのですが、 極になる可能性はsin=0,すなわりz=nπ　しかし、 ord(z,0)=ord(sin,0)=1なので　←これ以降どうゆう意味なのですか？ z/sinzはz=0で正則 z/sinzはz=nπ,n≠0を１位の極に持ち、 Res(z/sinz,nπ)=(-1)＾nπ ご回答お願いします。

  • 複素関数論の特異点の定義の流儀

    複素関数論の特異点の定義を見ると、「非正則点＝特異点」という流儀と、非正則点のうち、うまく近傍をとれば正則点を排除できるものは特異点の定義から除外する流儀がありますよね。なぜ、このような違いがあるのでしょうか。

  • 正則かどうか

    いま、電気系の分野の伝送回路というのを勉強しています。 その中で、与えられた関数が正則かどうかを調べるところがありますが、どのように理解していいかわかりません。 与えられた関数（例題と答え）は、たとえば（数問例を出します。） （1） H(s)=1/(2s+2) 正則性:極はs=-1であるから、Res>0で正則 (2) H(s)=1/(s^2+1) 正則性:s=+-jであるからRes>0で正則 sは複素周波数でs=σ+jωです。 jは虚数単位（？）です。数学でいうiです。 極を調べて、それの実部が0より大きいか小さいかを調べて、それが0より大きければその関数は正則ということですか？ こう考えると、（1）の場合はResはσで、それは「-1」で、すでにσ＞0になっていません。 なぜ（１）の関数は正則といえるのでしょうか？ また、（2）ですが、σは0ですよね。となるとσ=0>0 となり、よくわからなくなってしまいます。 これらはどのように理解すればいいのでしょうか？ 教科書など見ても形式的（一般的）な説明ばかりでよくわかりません。 よろしくお願いします。

  • 留数の計算

    問：　f(z)＝1/(z-1)(z+3)^2 の孤立特異点における留数を求めよ。 僕の答え： 　　　　　孤立特異点は、１と－３ 　　　　　　ｚ＝１は、１位の極、ｚ＝－3は、２位の極 　　　　　よって、公式より、 　　　　　Res[z=1]ｆ(z)＝Lim　ｚ→１　(z-1)f(z)＝1/(1+3)^2 = 1/16 　　　　　Res[z=-3]ｆ(z)＝Lim　ｚ→ー-3 1/(2-1)! d/dz{(z+3)^2ｆ(z)} 　　　　　　　＝-1/(z-1)^2＝-1/(-3-1)^2 = -1/16 で、足したら０になる！！ これは、積分の留数定理から言っておかしいと思います。 恐縮ですが、どこで間違えたかお教え下さい。

  • 複素関数の問題

    複素関数の問題 次の複素関数の問題ですが,この関数の特異点が分からずに困っています？ f(z) = 2 / ( λz^2 + 2μiz - λ ) ただし 　 z 　：複素数 λ・μ：実定数でμ>λ>0です 追加で,この複素関数の特異点も教えていただけると幸いです f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 です これの特異点は-1でいいのでしょうか？ 以上、よろしくお願い致します

  • ∫(c,(z+1)/z(z-i)^2)dzの値を求めよ。

    識者の皆様宜しくお願い致します。 下記の問題を解いているのですが自信がいまひとつです。 このようなとき方でいいでしょうか? [問]Cが円|z-i=1/2で反時計回りの向きとする時、∫(c,(z+1)/z(z-i)^2)dzの値を求めよ。 [解] f(z)=z^(-1)(z+1)(z-i)^(-2)において、単純閉曲線|z-i|=1/2の内部ではz=iのみで特異点(つまり、孤立特異点)を持ち、iが2位の極となる。 (∵『f(z)={Σ(k=1..n,(z-ak)^sk}/{Σ(k=1..m,(z-bk)^tk} (但し、a1,a2,…,anは複素数。b1,b2,…,bmは相異なる複素数。s1,s2,…,sn,t1,t2,…,mkは自然数)とする時、bk(k=1,2,…,m)は孤立特異点となり、bkをtk位の極という』) よって ∫(c,(z+1)/z(z-i)^2)dz=2πiRes(i,f) (∵『「留数定理」f(z)は単純閉曲線Cの内部に孤立特異点z1,z2,…,znを持つ他はCの内部と周を込めて正則とする。この時、∫(c,f(z)dz=2πiΣ(j=i..n,Res(zj,f))』) =2πi・lim(z→i,d/dz{(z-i)^2(z+1)/(z(z-i)^2)}) (∵z0がk位の極の時、Res(z0,f)=1/(k-1)!lim(z→z0,d^(k-1)/dz^(k-1)((z-z0)^k)f(z)) =2πi・lim(z→i,d/dz{(z+1)/z}) =2πi・lim(z→i,-1/z^2) =2πi・1 =2πi

  • おしえてください

    複素平面C全体で定義された正則関数ｆ、ｆ（ｚ）→＋むげんだいを満たすとする。このときあるｚ（Cにふくまれる）があってｆ（ｚ）＝０を背理法、リュービルのていりをつかって示せ

  • 複素関数の積分

    正の実数rに対して、Crを複素平面上の中心0、半径rの円とする。ただし、曲線の向きは偏角の正の向きとする。また、a、bを0でない実数とし、複素関数fをf(z)＝z/((z-a)(z-b))と定義する。 このとき、∫_(Cr) f(z)dzを求めよ。ただし、Crが特異点上を通るときは考えないこととする。 教えてください。

  • 複素積分の問題です。

    複素積分の問題なのですがインテグラル{cox(x)/x^2+1 }dx 範囲が　-∞～∞ になっていて答えがπ/e　になっています。留数定理をもちいて計算しようとおもったのですが x=zとおいて 孤立特異点がi,-iになり Res(f,i)をもとめていこうとしたのですが、ここからどうも答えに辿りつきません。 どなたかお手伝いよろしくお願いします。

  • 複素関数

    複素関数 f(z) = z^2 の 0 は特異点ですか。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する