ディリクレ分布について

質問

ディリクレ分布の平均・分散・共分散の求め方についてお分かりになる方いらっしゃいますか？

平均の求め方が分かれば、分散・共分散についても、求められると思うので、平均だけでもかまいません。

数式を書くのは面倒と思われるため、
アドバイスでも結構です。

よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

ベータ分布を多変量に拡張した分布なので、多変量分布の平均・分散
は意味がないと思うので、それぞれの変量の周辺分布を求めて、
平均・分散などを計算するのだと思います。

Dirichlet分布の確率密度関数は、
f(x1,…,xn)=Γ(a1+…+an)/Γ(a1)…Γ(an)・x1^(a1-1)…xn^(an-1)
（xi≧0、Σxi=1、ai≧0）
で、X1の周辺分布を求めようとしたら、x2+…+xn≦1-x1の範囲で
x2,…,xnについて積分してx1のみの式にするのでしょうが、なんか
計算は大変そう。うまくやれば、雪崩式にできるのかな？
n=3でやってみて何か規則性などを見つけては。
たぶんベータ分布になると思うので、周辺分布の密度関数は、
f1(x1)
=Γ(a1+…+an)/Γ(a1)Γ(a2+…+an)・x1^(a1-1)・(1-x1)^(a2+…an-1)
（パラメータa1,a2+…+anのベータ分布、0≦x1≦1）
になると思います。
ならばその平均はa1/(a1+…+an)、
分散はa1(a2+…+an)/(a1+…+an)^2(a1+…+an+1)
対称性から他のも同じようにでる。

微積分の問題集で重積分の似たような問題が載ってればいいんですが。

お礼

面倒な記述にもかかわらずありがとうございました。

Dirichlet分布の正規化項を求める際の計算と
同様にやってみました。(超面倒でした・・)

怪しさは残りますが、おかげさまで解決しました。
感謝しております。ありがとうございました。

回答No.1

inara

英語版Wikipedia（http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution）のE、Var、Covがそれぞれ平均、分散、共分散の定義じゃないですか？

日本語版WikipediaにはDirichlet分布は出ていませんが、英語版には多変量を含め非常にに多くの分布関数が出ています。私は確率・統計の専門家ではありませんが、この種の調査は、英語で検索されることをお勧めします。情報量が圧倒的に違います。英語が苦手ならフリーの翻訳ページを使えばいいんです（ヘタな日本語訳ですが）。

エキサイト翻訳　http://www.excite.co.jp/world/
Nifty翻訳　http://tool.nifty.com/globalgate/

お礼

回答ありがとうございます。

>英語版WikipediaのE、Var、Covが
>それぞれ平均、分散、共分散の定義じゃないですか？

これらは定義ではないので、証明できるはずです。

確かに、
日本語のページでは情報量が少ないですよね・・。