２つの正規分布を合成したらどうなるのでしょうか？

質問

現在大学の研究の過程で統計学を学ぶ必要がでてきました。僕自身は統計学に詳しくはないので知識のある方の回答は非常に助かります。
どうかご教授よろしくおねがいします。

平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが

例えば互いに独立で

国語の平均点、分散を（μ1,σ1)としての正規分布f(国語)
数学の平均点、分散を（μ2,σ2)としての正規分布f(数学)

とした時の国語と数学の合計得点の分布f(国語+数学)はどのように表せばよいのでしょうか？

もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら

f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}

が答えだと思っているのですが、それとは別のやり方で

f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。

しかし、僕の数学の知識ではこれができなくて困っています。ガウス積分の公式を使ったりしなければいけないのではないかとも考えいるのですが行き詰っています。

アドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞　平均μ、分散σで表される正規分布はf(x)=1/((√2π)σ) exp-{((x-μ)^2)/2σ^2}で表されますが
一般的には分散をσ^2と表し、標準偏差はその平方根でσと表します。
質問者さんが示された確率密度関数は、平均 μ、分散 「σ^2 」の正規分布のものです。分散と標準偏差の扱いをもう少しきちんとしましょう。

＞　μ3=μ1+μ2, σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら
２つの確率変数 X, Y があり、それぞれの平均と「分散」がμ1, (σ1)^2, μ2, (σ2)^2 であるとします。確率変数 Z を Z = X + Y で定め、Z の平均と「分散」をμ3, (σ3)^2 とすると・・・

μ3 = μ1 + μ2
は、X,　Y がどのような分布であっても（X, Y が異なる分布であっても）成立しますし、X, Y が互いに独立であるか否かに関わらず成立します。
また、X, Y が互いに独立であれば（それらの分布によらず）、
(σ3)^2 = (σ1)^2 + (σ2)^2
が成立します。（このとき Z = X + Y の「標準偏差」σ3 は、σ3 = √( (σ1)^2 + (σ2)^2 ) ）

＞　f(国語+数学)=1/((√2π)σ3) exp-{((x-μ3)^2)/2σ3^2}
＞　が答えだと思っているのですが
X, Y が互いに独立な確率変数であり、共に正規分布に従うならば、X + Y もまた正規分布に従うという事実は確かにありますが、これは正規分布の「再生性」と呼ばれる特別な性質であることを理解していなければなりません。その点、大丈夫ですか？

＞　それとは別のやり方で
＞　f(国語)=1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}と
＞　f(数学)=1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}をたたみこみ積分すれば答えがでるのではないかと考えています。
上述したように、正規分布の再生性を示す必要があるならば、畳み込み積分でそれを示すのが一法なのであって、何も「別のやり方」ではありません。
案ずるより計算するが易しです。式の整理が面倒なだけで、特別な知識は不要です。
f(x) = 1/((√2π)σ1) exp-{((x-μ1)^2)/2σ1^2}
g(x) = 1/((√2π)σ2) exp-{((x-μ2)^2)/2σ2^2}
h(x) = ∫f(t) g(x - t) dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - μ1)^2 / (2σ1^2) - (x - t - μ2)^2 / (2σ2^2) } dt
　　epx( ) の指数部を t で平方完成して
　　= 1/(2πσ1 σ2) ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2)) - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } dt
　　= 1/(2πσ1 σ2) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) } ∫exp{ - (t - 何ちゃら )^2 / (2σ1^2 σ2^2 / (σ1^2 + σ2^2))} dt
　　= 1/√(2π(σ1^2 + σ2^2)) exp{ - (x - μ1 - μ2)^2 / 2 (σ1^2 + σ^2) }
　　（∵ ∫ exp ( - (t - A)^2 / 2B^2 ) dt = √(2π) B ）
μ3 = μ1 + μ2, σ3^2 = σ1^2 + σ2^2 とおけば
h(x) = 1/(√(2π) σ3) exp( - (x - μ3)^2 / 2 σ3^2 )
途中、「何ちゃら」の部分は省略してますので、興味があれば追っかけてみてください。

なお、本件は確率論において、ごくごく基本的な事項です。
もし、これから確率統計を使って研究をされるのならば、このような件を簡単に質問して済ませるのは危うい感じがします。ちゃんと書籍を読まれ、その上で質問されるのが宜しいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！！積分等、分からなかったところがほとんどわかるようになりました！
質問を急いでしまって分散σ^2を分散σと書いてしまいました。。。
再生性という言葉も知らないので、書籍等で確率統計の知識を身に付けてからまた改めて質問させてもらいたいと思います。

回答No.4

fusem23

No.2です。

＞σ3^2 = σ1^2 + σ2^2

やっぱりベクトルだ～（根拠なし）
案外、相関係数との関係も当っているかも。

（アドバイスじゃなくて済みません）

お礼

再度回答ありがとうございます！！^^;
参考にさせてもらいます！

回答No.2

fusem23

＞もしμ3=μ1+μ2,σ3=σ1+σ2のように平均も分散も和で考えてよいのなら

これが成り立つのは、国語と数学の相関係数が１の場合でしょう。
平均については、もちろん和で求められますが、分散は違います。
相関係数が負なら、分散が小さくなることもあるわけです。
（ベクトルの合成っぽいので、そんな感じかな～）

とはいえ、私の頭ももうぼけているので、あまりアドバイスできませんが、必要な知識は、二重積分ではないでしょうか。
外してたらごめんなさい。

お礼

なるほど！
自分も平均は和で計算してよいと思っていたのですが、やはり分散は違うようですね。二重積分も必要になってくるかもしれないですね。
回答ありがとうございました！！！

回答No.1

noname#70519

畳み込み積分は、ラプラス変換すると二つの積分をラプラス変換したものの積になります。

お礼

回答ありがとうございます！
ラプラス変換というキーワードを忘れていました。
もう１度ラプラス変換を復習して改めてこの問題にチャレンジしたいと思います！！