異なる分散の分布が合体して出来た分布の分散はどうなりますか

質問

統合による影響を考えています。
以下のような問題を考えているのですが、
詳しい解説をよろしくお願い申し上げます。

ある変数に対する分散が大きい分布を、分布Aとします(分散をσ_A)。
分散が小さい分布を分布Bとします(分散をσ_B)。
これら二つの分布が合わさってできあがった分布を分布Cとします
(分散をσ_C)。

この場合、
できあがった分布Cの分散(σ_C)を、
σ_Aとσ_Bで表したいのですが、どうしたらよいでしょうか。

分布規模が同じ場合と、
規模が異なる場合(分布Aの方が分布Bより大きい)の二つ
を求めたいのですが、どうしたらよいでしょうか。

このような問題を考える際、
どのような本を勉強すればよいでしょうか。
分散を詳しく解説してある本もご紹介頂けますと、
重ねてありがたく存じます。
よろしくお願い申し上げます。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

サンプルの集合Aについて、サンプル数をN_A、平均をm_A、サンプルの集合Aに属するサンプルをa[j](j=1,2,...,N_A)と書くことにして、
m_A×N_A = Σ[a[j]]　（Σ[ ]はj=1,2,...,N_Aについての総和）
であるとしましょう。ご質問では「分散」の意味がちょっと曖昧ですが、サンプルの分散のことであると解釈し
σ_A×N_A = Σ[(a[j]-m_A)^2]　（Σ[ ]はj=1,2,...,N_Aについての総和。なお「^2」は二乗のこと）
であるとしましょう。
　サンプルの集合Bについても同様です。

　まず、サンプルの集合AとBの合併集合Cについて、平均をm_Cと書くと
m_C×(N_A+N_B)=Σ[(a[j]]+Σ[b[j]]（最初のΣ[ ]はj=1,2,...,N_Aについての総和、二つ目のΣ[ ]はj=1,2,...,N_Bについての総和）
ところが
Σ[a[j]]=m_A×N_A（Σ[ ]はj=1,2,...,N_Aについての総和）
Σ[b[j]]=m_B×N_B（Σ[ ]はj=1,2,...,N_Bについての総和）
なのだから
m_C×(N_A+N_B)=m_A×N_A + m_B×N_B
なので
m_C= (N_A×m_A + N_B×m_B)/(N_A+N_B)
です。つまり、m_A, m_B, N_A, N_Bだけからm_Cが計算できました。

　分散についてはちょっとやっかいです。
(a[j]-m_A)^2 = ((a[j]-m_C) + (m_C-m_A))^2
= (a[j]-m_C)^2+2a[j]×(m_C-m_A)-m_A×(m_C-m_A)
だから、
σ_A×N_A = Σ[(a[j]-m_C)^2+2a[j]×(m_C-m_A)-m_A×(m_C-m_A)]
= Σ[(a[j]-m_C)^2]+2Σ[a[j]×(m_C-m_A)]-Σ[m_A×(m_C-m_A)]
= Σ[(a[j]-m_C)^2]+2(m_C-m_A)×Σ[a[j]]-[m_A×(m_C-m_A)]×N_A
（この計算では、
pがjによらない定数であるとき、Σ[p×a[j]]=pΣ[a[j]]であることと
pがjによらない定数であるとき、Σ[p]=p×Σ[1]=p×N_Aであること
を使っています。）
Σ[a[j]]=m_A×N_A
なのだから
σ_A×N_A =Σ[(a[j]-m_C)^2]+2(m_C-m_A)×m_A×N_A-[m_A×(m_C-m_A)]×N_A
=Σ[(a[j]-m_C)^2]+(m_C-m_A)×m_A×N_A
従って、
Σ[(a[j]-m_C)^2]=σ_A×N_A + (m_A-m_C)×m_A×N_A（Σ[ ]はj=1,2,...,N_Aについての総和）
です。
　同様にして、
Σ[(b[j]-m_C)^2]=σ_B×N_B + (m_B-m_C)×m_B×N_B（Σ[ ]はj=1,2,...,N_Bについての総和）
が言えますから、
σ_C×(N_A+N_B)=Σ[(a[j]-m_C)^2]+Σ[(b[j]-m_C)^2]（最初のΣ[ ]はj=1,2,...,N_Aについての総和、二つ目のΣ[ ]はj=1,2,...,N_Bについての総和）
=σ_A×N_A + σ_B×N_B + (m_A-m_C)×m_A×N_A + (m_B-m_C)×m_B×N_B
　なので集合Cの分散σ_Cは
σ_C = (σ_A×N_A + σ_B×N_B + (m_A-m_C)×m_A×N_A + (m_B-m_C)×m_B×N_B)/(N_A+N_B)
です。つまり、σ_A, σ_B, m_A, m_B, N_A, N_Bだけからm_Cが計算できました。

お礼

計算を確認したところ、
同値であることがわかりました。
お騒がせして、すいませんでした。ありがとうございました。

補足

とても丁寧なご回答をいただき、ありがとうございます。
なるほどと思っております。

ただ、
>　分散についてはちょっとやっかいです。
>(a[j]-m_A)^2 = ((a[j]-m_C) + (m_C-m_A))^2
>= (a[j]-m_C)^2+2a[j]×(m_C-m_A)-m_A×(m_C-m_A)
とあるのですが、

この部分は、
(a[j]-m_A)^2 = ((a[j]-m_C) + (m_C-m_A))^2
= (a[j]-m_C)^2+2a[j]×(m_C-m_A)-2m_C×(m_C-m_A)+(m_C-m_A)^2
= (a[j]-m_C)^2+2a[j]×(m_C-m_A)-2m_C^2+2m_A・m_C+m_C^2-2m_A・m_C+m_A^2
= (a[j]-m_C)^2+2a[j]×(m_C-m_A)-m_C^2+m_A^2
と計算したのですが、どうでしょうか。
再度、目を通していただけますとありがたく存じます。

よろしくお願い申し上げます。

回答No.5

stomachman

ANo.4へのコメントについてです。
　すいませんね。stomachmanは計算間違いの常習犯でして…
　ご自分で計算がお出来になるのなら、試しに数値を入れて検算なさってみれば、ご質問なさるには及ばないかと思います。

お礼

エクセル等で検証するというのも一つの手だと、気付きました。
少々甘えすぎてしまい、大変失礼しました。

役立つご示唆をいただき、心より感謝しております。
ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

あ～, なんとなくわかった. たぶん #2 は勘違いしてます.
「2つの集団があって, それぞれの集団内では平均や分散が分かっていると仮定して, 全体をまとめた 1つの集団に対して分散がどうなるか」ということですね. だとしたら, 双方の平均 (の差) も影響してきますよ.
例えば「集団A は 90個の標本からなりその値はすべて 0」「集団B は 10個の標本からなりその値はすべて 1」という状況を考えてみます. それぞれの集団内では分散は 0 になりますが, これらをまとめた (100個の標本からなる) 集団C の分散は 0 にはなりません (0.3 かな?).
ということで, 挙げられた値のみからでは求まりません. 地道に偏差の 2乗和を求めに行くことになると思います.

回答No.2

Tacosan

確率変数 Z = X+Y においてそれぞれの分散を Var(Z) などと表すことにします.
このとき, X と Y が独立なら Var(Z) = Var(X) + Var(Y) です. 独立でないときには X と Y の共分散 (もしくは同じことだが相関係数) が式に入ってきます.
この辺は初歩クラスの統計の本にあるような気がします.
蛇足ですが, 普通「σ」は標準偏差を表すのではないかな.

補足

早速ご回答いただき、ありがとうございます。
規模、平均が等しく、独立である場合は、
回答頂けましたように、Var(Z)=Var(X)+Var(Y)になるかと思います
(標準偏差の2乗が分散かと思いますので、σ^2と表記できるかと思います。そこで、単純化のため上記のような表記にさせていただきました。誤解を招くような表記をしてしまい、失礼いたしました)。
ありがとうございました。

ただ、その応用の規模(この表記は正しくはないと思うのですが…
分布を形成するデータ数をイメージしています)
が異なる場合はどうなるでしょうか。

データ数が100個の分散が0.1で、データ数が10個の分散が2.0があり、
この二つの分布が合わさったとき、
その分散が2.1ではおかしいような気がするのですが…。

私の考え方は間違っていると思うのです。
教えていただけましたら、ありがたく存じます。
よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

my3027

たしか平均値がすべて同じ場合これだったかと・・・。
σ_C^2=σ_A^2+σ_B^2
参考書は確率、統計関連の書籍がいいと思います。

参考URL：

http://home.a02.itscom.net/coffee/tako08Annex.html

お礼

ご回答くださり、ありがとうございました。
確かに、同じ分布の場合、上記のようになるかと思います。
ありがとうございました。