微分の最小値を求める応用問題

質問

・高さT2点_________

________高さT1点・

かわ→__________｜_____・Ｐ点___________|____________________
　　　　　　　　O点

分かりづらいのですが、パイプラインをＴ２から揚水所Ｐを経由して、Ｔ１まで通すとき、パイプラインの全長を求めて、パイプラインの全長が最小になるときのＯＰの長さを求めるという問題です。

Ｐ点から出ている二つの直線でできる角を、左をθ１、右をθ２と置いて考えています。川の長さがＬ、ＯＰ点をＸと置いて、三平方でパイプの長さを出そうとしていますが、どうしても式が複雑になってしまって最後まで解けません。

最小の値は、パイプラインの全長f(x)を微分して求めればいいかと思うのですが、全長が求まらないので先に進めません。

よろしくお願いします♪♪

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

この問題は、点Pでの折り返し角度やパイプライン内での抵抗を考慮しなくて良いのでしょうか。
　もしそうでしたら、単純に点T1を川に対して対称な位置T1'に移して考えれば一発です。
　点T1、T2の高さをそれぞれT1、T2とし、2点T1とT2の間の川に沿った方向成分の距離をL、点T1'から川に平行に直線を引き点T2から川に垂直に下ろして延ばした直線との交点を点Qととしますと、△OPT1'∽△QT1'T2次の関係が得られます。
　　OP：OT1'＝QT1'：QT2
　　x：T1＝L：(T1+T2)
　∴ｘ＝T1・L/(T1+T2)

回答No.2

masuda_takao

以下のように、座標を導入して考えるのが分かりやすいかと。

T_1 (0, a), O (0, 0), T_2 (l, b), P (x, 0)

　求めるパイプラインの長さ f(x) は、線分 T_1P と線分 PT_2 の和に
なります。θ1やθ2 を用いず、定数 a, b, l と変数 x のみを用いて表す
方が素直かと。
　この f(x) を微分して増減を調べるのはやや大変ですが、x の値域が
0 と l の間であることに注意すると、何とか出来ると思います。結果は
No. 1 さんのそれに同じになります。