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線分の最小値の問題

中学生の数学の問題です。 t=1/4になるみたいですが、解き方がわかりません。 どなたか助けてください。 お願いします。 「3点A(1,0)、B(4,0)、C(a,b)と、直線y= x上に2点P(t,t)、Q(t+2,t+2)がある。 AP+BQが最小になるときのtの値を求めよ。」

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  • nag0720
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回答No.2

点Aをy=xの直線で反転した点をDとすれば、Dの座標は(0,1) 点Bをx方向に-2、y方向に-2平行移動した点をEとすれば、Eの座標は(2,-2) 点Qをx方向に-2、y方向に-2平行移動した点は点Pなので、BQ=EP AP+BQ=DP+EP なので、DPEが一直線になるように点Pを取れば、AP+BQは最小になる。 直線DEの式は、y=1-3x/2 だから y=x との交点は(2/5, 2/5) よって、t=2/5 >t=1/4になるみたいですが 問題は間違ってない? C(a,b)は何のために書いているんだろうか?

arakata
質問者

お礼

遅くなってすみません。 非常にわかりやすいご説明ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

回答No.3

NO2さんで合ってると思います。t=2/5です。 t=1/4なる解はひょっとしてですが、 AP^2+BQ^2が最小値となる場合がAP+BQの最小値となると勘違いしているのかもしれません。

arakata
質問者

お礼

ご解答ありがとうございます。 NO2さんの解答であっていました。 ありがとうございました。

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回答No.1

APとBQが最小の値を取る時、 線分APと線分BQは、直線に対して垂直になります。

arakata
質問者

お礼

ご解答ありがとうございました。

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