【中２数学】最短距離

質問

A（１，０）、B（４，０）、C（ａ、ｂ）および直線ｙ＝ｘ上にｐ（ｔ，ｔ）、Ｑ（ｔ+２、ｔ+２）が与えられている。

（１）四角形ＡＣＰＱが平行四辺形になるとき、ａ、ｂの値を求めよ。
・・・求めました。ａ＝３、ｂ＝２　です。

（２）ｔが変化するとき、ＡＰ＋ＢＱが最小となるような点Ｐの座標を求めよ。
・・・（１）を利用すると思追うのですが、できません。答えは（２／５、２／５）です。

宜しくお願い致します。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

(1)
a=3, b=2 のときは　４つの頂点をA,C,P,Qをこの順にAーCーPーQーＡの順に結んでできる四角形ACPQは平行四辺形になりません。正確に言えば、四角形ACPQは、ねじれた四角形になり、平行四辺形とはいえません。
このとき４つの頂点A，C，Ｑ，Ｐをこの順にA－C－Q－PーAと結んでできる四角形ACQPは平行四辺形になります。
通常、四角形ACPQというのは、４つの頂点の記号(A,C,P,Q)をこの順にAーCーPーQーAの順に結んでできる四角形のことを言います。
-1,
四角形ACPQが平行四辺形となるa,bの値は、a=-1,b=-2です。
このときの４つの頂点A,C,P,Qは、順にA(1,0), C(-1,-2), P(t,t), Q(t+2,t+2)をこの順にAーCーＰーQーＡと結んで、四角形ACPQを描いてみてください。四角形ACPQは（ねじれていない）平行四辺形になります。

(2)
点B(4,0)の直線y=x（直線PQ)に対する対称点をＤ(0,4)とし、四辺形AEQPが平行四辺形となる頂点をEとすると
a=-1, b=-2のとき（四角形ACPQが平行四辺形ACPQのとき
AP+BQが最小となるのは、３点E,D,Qが一直線上にあるときであって
最小値は t=2/5、P(2/5,2/5)のときで
AP+BQ=EQ+DQ=DE=√(3^2+(4-2)^2)=√13
となります。

なお、四角形ACPQがねじれ四角形(平行四辺形ACQP)のときは
a=3, b=2, C(3,2)
AP+CQが最小になるのは
3点C,D,Qが一直線上にあるときでこのとき　t=2/5, P(2/5, 2/5)
最小値AP+BQ=CQ+DQ
　=CD=√(3^2+(4-2)^2)=√13
となります。

図を描いて式を追って考えてみてください。

補足

ありがとうございます。

四角形ACPQがねじれ四角形(平行四辺形ACQP)のときは
a=3, b=2, C(3,2)
AP+CQが最小になるのは
3点C,D,Qが一直線上にあるときでこのとき←ここが図を書いてみたのですが、しっくりきません。ＣＱやＰＡがｙ＝ｘに垂直に交わるときではないのでしょうか。

回答No.4

info222_

No.2です。

補足コメントの質問の回答

>四角形ACPQがねじれ四角形(平行四辺形ACQP)のときは
>a=3, b=2, C(3,2)
>AP+CQが最小になるのは
>3点C,D,Qが一直線上にあるときでこのとき
←ここが図を書いてみたのですが、しっくりきません。

図を正確にお描きになって見えないからでしょう。
方眼紙（mm目盛りのもの）に描けばわかるかと思います。
正しい図を添付しますので確認してください。
AP=CQ (∵四角形ACQPは平行四辺形)
BQ=DQ (∵点Ｂと点Dは直線ＰＱ(y=x)に対して対称。D(0,4))
∴AP+BQ=CQ+DQ≧CD=√13 (等号は点Qが直線CD上にあるとき成立)

>ＣＱやＰＡがｙ＝ｘに垂直に交わるときではないのでしょうか。
いいえ。間違いです。
仮にそうだ（PQ⊥CQ//AP）とすると
AP+BQ=CQ+DQ>CD
となって、
最短距離CD=√13より大きくなってしまいます。
(∵三角形の２辺の和は、残りの辺より長い。DQ+CQ>CD)
すなわち、このときは　AP+BQが最小とならないということです。

回答No.3

noname#252159

info222の方と考え方は、基本的に同じです。
y軸上にB'(0,4)を設定します。
AP十BQ＝AP十B'Q
です。
点Eを四角形QPAEが平行四辺形となるように設けます。
PQとA E は平行で長さが等しいから
E (1十2、0十2)＝E(3，2)
APとEQは平行で長さが等しいから
AP+BQ=EQ+B'Q
EQ＋B'Qが最小となるのは直線になるとき。
B'(0,4)とE(３，2)とを通る直線の式はy=-2/3x+4. ...(1)
直線y=x. (2)
(1)と(2)との交点をE'とすると
E'(12/5, 12/5)
このE'をQ と考えればよい。
よって
P(12/5 - 2, 12/5 - 2 )
=P(2/5, 2/5 )

回答No.1

itaitatk

最短になるにはABが最短になるには直線が最短となります。
そのため直線ABの直線を求めます。
それがPQの中点である（t+1,t+1）を通過するとして挙げるとtの値がでるかとおもます

補足

ありがとうございます。あまり関係ないかもしれませんが、平行四辺形はＡＣＱＰでした。ＡＢはｘ軸ですので、ｙ＝０です。これがＰＱの中点を通過するとは・・・。すみません。まだよくわからないです。