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関数の問題
aがすべての実数値をとって変化するとき、点P(a+1,2a)と放物線y=x^2+4上の点との最短距離を求めよ。 という問題です。 よくわからなかったので解答を見ました。しかしよくわかりませんでした。 解答の解説をお願いします。 x=a+1,y=2a とする。 これより点Pの集合は -2x+y+2=0 の直線になる。 この直線と放物線の点(t,t^2+4) との距離は |-2t+(t^2+4)+2|/√(-2)^2+1^2=|(t-1)^2+5|/√5 したがって t=1のとき最小で最小値√5 と書いてありました。 質問は2つあります。 (1)x=a+1,y=2a とする。これより点Pの集合は -2x+y+2=0 の直線になる。と書いてありますがどうして、このようになったのでしょうか? (2)t=1のとき最小で最小値√5 と書いてありますが、どうしてt=1のときとわかるのでしょうか? この2点を中心とした解説をお願いします。
- type2000
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- take_5
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又、ミスった。。。。。。。笑 >それには、放物線y=x^2+4上の点Q(α、2α-2)の接線と直線y=2(x-1)が平行になればよい。 ↓ それには、放物線y=x^2+4上の点Q(α、α^2+4)の接線と直線y=2(x-1)が平行になればよい。
- take_5
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別解を示しておく。 x=a+1、y=2aより、2a=y=2(x-1)であるから、放物線y=x^2+4上の点Qと直線y=2(x-1)との距離が最小であればよい。 それには、放物線y=x^2+4上の点Q(α、2α-2)の接線と直線y=2(x-1)が平行になればよい。 y´=2α=2であるから、α=1で最小。 この時、点Q(1、4)と直線y=2(x-1)との距離は、ヘッセの公式より√5.
- jo-zen
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(1)については、 x=a+1,y=2a → -2x+y+2=0 代入して検算すれば数式が成り立つでしょ。どうしてこの式が導き出されるかというと、a=(1/2)y ですから、x=(1/2)y+1 となり、これを整理したものです。当然直線をあらわす式です。 (2)については、 |(t-1)^2+5| は正で、(t-1)^2>=0であり、これが正ならば、値は大きくなりますので、最小値はt-1=0 つまり t=1 の場合になります。
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