微分入試

質問

tを正の実数とする。座標平面上の点(-1,1)を通る傾きtの直線がある。この直線とX軸y軸の共有点をそれぞれP Qとするとき、次の問いにこたえよ。
①2点P Qの座標をtを用いてあらわせ。 ②2点P Qの距離の二乗P Q^2をtを用いてあらわせ。
③②で求めたtの式をf(t)とする。t>0において関数f(t)の増減を調べ、最小値をもとめよ

入試問題です…！
どなたか教えてください…！

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

①
(-1,1)を通る傾きtの直線の方程式は
y - 1 = t (x + 1)
x軸との交点は (-1 - 1/t , 0)
y軸との交点は (0 , t + 1)

②
PQ^2 = (-1 - 1/t)^2 + (t + 1)^2
= { 1 + (2/t) + (1/t^2) } + (t^2 + 2t + 1)
= t^2 + 2t + 2 + (2/t) + (1/t^2)

③
f(t) = t^2 + 2t + 2 + (2/t) + (1/t^2)
f‘(t) = 2t + 2 - (2/t^2) - (2/t^3)
= (2t + 2) - (2t + 2)/t^3
= (2t + 2) { 1 - (1/t^3) }
= 2 (t + 1) * (t^3 - 1) / t^3
= 2 (t + 1) (t - 1) (t^2 + t + 1) / t^3
= 2 (t - 1) { (t + 1) (t^2 + t + 1) / t^3 }

t > 0 のとき { } の中はつねに正なので、f‘(t) の符号は (t - 1) の符号と一致する。このことから f(t) の増減を調べると
f(t) は t = 1 のとき極小かつ最小となり
その値は f(1) = 8 …答