平行線と比

質問

クリックありがとうございます。
今中学3年生なのですが「平行線と比」というところの
問題をやっています
それが応用となるとさっぱしわかりません
ttp://sakuratan.ddo.jp/imgboard/img-box/img20070131191223.gif
などの図で
BD：DC=2:3、AE:ED=5:3
BF//DGである
次の線分の長さの比をもとめろ

EF:DG（いちよう、５：８とだしました。）
FG:AC
BE:EF
といった問題でです。
ほかの面積比をもとめろという問題などもあるのですが
本当に自己嫌悪に陥ってしまうくらいわかりません
考え方や、アドバイスなどをおしえてくださればうれしいです。
この比のわかりやすいサイトなどはないのでしょうか？

回答No.3

cyber-poem · ベストアンサー

とりあえず一問答えてしまいます。
数学の問題は、連続した設問(要するに前の質問に答えられないと次の質問がわからなくなる)が多いということを、頭に入れておくといいでしょう。

この問題ではさきにあなたは
EF:DG=5:8とだせたので（ここの問題が解けないとほかの問題が解けなくなる）
EF:DG=5:8　　・・・(1)
また、△CDG∽△CBFなので（この証明は省かせてください）
BD:DC=2:3 で相似なので
DG:BF=2:3
=8:12
{DGの値を8にすることによって（△CDG∽△CBF)
EF:DG:BF=5:8:12とする}
また
(1)より(EF:DG=5:8)
BF:EF=12:5
BE+EF=BF
BE+5=12
BE=7
よって
BE:EF=7:5
もう一問は、これを参考にして
やってみてください

ちなみに僕が中学生のときこの問題を解くときは、
相似な三角形を見つけることと
数学の問題は流れのある問題もあるということを頭に入れて
といていました。

回答No.4

cyber-poem

ごめんなさい。間違えました
全角文字が訂正部分です
BD:DC=2:3 で相似なので
DG:BF=３:５
=８:５（８÷３）
{DGの値を8にすることによって（△CDG∽△CBF)
EF:DG:BF=5:8:(４０÷３)とする}
また
(1)より(EF:DG=5:8)
BF:EF=(３分の４０):5
BE+EF=BF
BE+5=３分の４０
BE=３分の２５
よって
BE:EF=(25/3):(15/3)
=５：３
申し訳ありません

回答No.2

zk43

△ＡＥＦ∽△ＡＤＧ
△ＣＤＧ∽△ＣＢＦ
なのは分かりますか？
（平行線の同位角が等しいことを使う）
そして、対応する辺の比を考えれば分かると思います。
求めたい比の辺を含む三角形で、相似なものを見つけるのが
基本と思います。

面積比は底辺の比や、高さの比を考えるのが基本と思います。
（底辺が共通で、高さが同じなら面積が等しいなどはよく使う。）

考え方はやさしいので、簡単な問題でもよいから沢山やって、
感覚を養うことをおすすめします。

回答No.1

Mr_Holland

線分や面積の比は、三角形の相似を使うのが基本ですよね。
　質問者さんは、EF:DGがきちんと求められていますので、基本は押さえられていると思います。
　ただ、比が多くなると途中で何と何の比だったのか分からなくなってきてしまうことが多いので、変数を置いて、実際の線分の長さにしていくと分かりやすくなります。

　まず、問題で与えられた比から変数x,yを用いて、各線分の長さを表します。
　　BD：DC=2:3　∴BD＝2x、DC＝3x
　　AE：ED=5:3　∴AE＝5y、ED＝3y

　次の各線分の比を求めていきます。
(1)　EF:DG
　△AEF∽△AEGから
　　EF:DG＝AE:AD＝AE:(AE+ED)＝5y:(5y+3y)＝5:8　・・・（A)

(2)　FG:AC
　この問題では、三角形の相似を２つ組み合わせて求めます。
　まず、(1)と同様に△AEF∽△AEGから
　　AF:FG＝AE:ED＝5:3
　∴AF＝5z, FG＝3z　（ｚは変数)　・・・（B)
　次に、△CDG∽△CBFから
　　FG:GC＝BD:DC＝2:3
　∴FG＝2w, GC＝3w　（ｗは変数)　・・・（C)
　ここで、式（A)と式（B)から
　　FG＝3z＝2w
　∴w=3z/2　　・・・・・・・・・・（D)
　辺AC＝AF+FG+GCだから
　　FG:AC＝3z:(5z+3z+3w)＝3z:(5z+3z+9z/2)＝3:(25/2)＝6:25

(3)　BE:EF
　式（A)から、
　　EF＝5v、DG＝8v　　・・・・・・・・・・（E)
　一方、△CBF∽△CDGから、
　　DG:BF＝DC:BC＝DC:(BD+DC)＝3x:(2x+3x)＝3:5＝1:5/3＝8v:40v/3
　∴BF＝40v/3　　・・・・・・・・・・（F)
　したがって、BE:EFは、
　　BE:EF＝(BF-EF):EF＝(40v/3-5v):5v＝25v/3:5v＝5:3

　図形から直接、比を考えることが難しいときは、手間かもしれませんが、変数を導入して線分の長さにすると良いと思います。