極限値

質問

lim[x→0]{log(1+x)+log(1-x)}/x^2
の極限値を求めよ。

lim[x→0]{log(1+x)+log(1-x)}/x^2
=lim[x→0]{log(1-x^2)}/x^2
=lim[x→0]log(1-x^2)^(1/x^2)
x^2 を t と置くと
=lim[t→0]log(1-t)^(1/t)

この式からどうすれば良いかが分かりません。
教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.3

lick6

eの定義は覚えていますか？
e = lim[x→0] (1 + x)^1/x
= lim[h→∞] (1 + 1/h)^h
これをつかい
lim[x→0] log(1 + x)^1/x = 1/x * log(1 + x) = 1
lim[h→∞] log(1 + 1/h)^h = h * log(1 + 1/h) = 1
極限の問題集にはおそらく1問はこれを聞いてくる問題があるとおもいます。
形からして「eの定義に持っていく」という方針がたてれば計算も少なくすむので、
もしlimとlogがでてきたらeの定義は使えるかどうか疑うようにしとくといいと思います。

回答No.2

y_akkie

以下のように式を変形していけば解けるんでは
ないでしょうか？

>>lim[x→0]{log(1+x)+log(1-x)}/x^2

ここから先は、

lim[x->0]log(1-x^2)/x^2
とし、log1=0である事を利用して、
lim[x->0] {log(1-x^2)-log1}/x^2
という形にするべきでは？

そこから、t=x^2とおいて、
lim[t->0]{log(1-t)-log1}/t

さらに、s=-tと置き換え、
lim[s->0]{log(1+s)-logs}/-s
lim[s->0](-1)×{log(1+s)-logs}/s
とすれば解きやすくなるんじゃないかな？

回答No.1

postro

x^2 を -t と置けば
=lim[t→0]log(1+t)^(-1/t)
=log(1/e)
とわかるんじゃないでしょうか