３点から二次関数を決定する問題についてです。

質問

３つの座標から二次関数を求める問題をといていて気づいたのですが、Xの値が１２３のように階段になっている３つの点から関数を決定する場合・・・例えばA(1,4) B(2,4) C(3,9)など、この場合　AとBでＹの増加量が３　BとCで増加量が５　増加量のふえかたが２づつ増えているのです。このような場合　Ｘ二乗の係数は１となるみたいなのです。ほかの場合でやってみると、増加量が４づつふえる場合は、二乗の係数が２となりました。
ちょうど、増加量の増加量を、２で割った値が求める関数のＸ二乗の係数と一致しました。何か規則があるみたいなのですが、どうしてこのようになるのでしょうか？少し気になっています・・・。おしえてください。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>A(1,4) B(2,4) C(3,9)
A(1,1) B(2,4) C(3,9)ですね

y=f(x) = A x^2 + Bx + C
とおきます．
f(x+1)-f(x) = A ( (x+1)^2-x^2 ) + B(x+1-x)
= A(2x+1)+B
これをF(x)とおきます．
これより
F(x+1)=f(x+2)-f(x+1) = A(2x+3) + B

よって，F(x+1) - F(x) = 2A です
F(x+1) - F(x) が質問者さんのいう
「増加量の増加量」ですので
「増加量の増加量」の半分が x^2 の係数です．
すなわち，質問者さんのいう「規則」は正解です

じつはこれはもっと奥が深くて，
+1 でなくても，同じ幅hで
x，x+h，x+2h のときでも成立しますし，
「差分」と呼ばれる計算方法でもあります．
二次関数の二階差分は二次の係数の2倍ということです．
そのうち習うであろう「微分」にも相通じる考え方です．

お礼

とてもすっきりしました。わかりやすく教えていただいてうれしいです
。今後の学習に生かしたいと思います。ありがとうございました。

回答No.4

kabaokaba

No.3です

>x，x+h，x+2h のときでも成立しますし，
これはもちろん
F(x+h)-F(x) = 2hA となることです
この場合は 2h で割るわけです．

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

metis

Aは(1,1)の間違いという前提で…

係数をkとします。
あるxの時のyの値は、kx^[2]ですよね。
で、x+1の時のyの値は、k(x+1)^[2]=k(x^[2]+2x+1)=kx^[2]+2kx+kです。
この2つの値の差は、2kx+k=k(2x+1)になります。
ここで、括弧の中は、xが1増えるに従って2増えるようになっていますね。（公差２の等差数列ともいえます）
ですので、yの増分が2ずつ増える場合はk=1、4ずつ増える場合はk=2となるわけです。

回答No.1

yu505is

Aは(1,1)の間違いでしょうか？
え～と、まず二次関数はXが二乗の形なので
Y=ax^2という形なので(1,1)のX軸の座標1を式のXに代入してみたらどうでしょうかするとY=a*1になりますね、YはY座標の値をそのまま代入すればいいので
1=a*1=a=1となって係数は1ということになると思うんですが
ひょっとして僕はまったく違うことを言っているのでしょうか。
醜く・・・もとい見にくくてすいません