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「収束」を定義すれば、位相も定義できる？
kabaokabaの回答
- kabaokaba
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No.1です No.3さんがお書きになってるようなことを 書こうとしてたのですが， 関数解析は忘れかけてるので抽象的に・・・ 一般に集合Xから位相空間Yへ 写像 f:X -> Y が定義されていれば Xの開集合を f^{-1}(Yの開集合) で定義することで Xは位相空間になります． したがって >この定義では、演算子の全体における「開集合」をあらわに使わずに >「収束」が定義されていますよね。こういう状況を考えて欲しいです． というのは，No.3さんのご指摘のように すでに位相を考えてるようなものなんです． >あるR^d上の(ある条件を満たす)関数の集合(Ｘとします)に、 >ある方法で「収束」を定義し、Ｘにこの意味での >収束を定義したものをＹと読んでいます。 「その方法」に依存します． というか。。。その定義を伏せる意味が まるでわからないのですが(^^;; もっと直接的に， なんとかという本に，こういう集合にこういう収束性を定義したら いつの間にか位相空間扱いされてたけど何ででしょう？ といえば，すっきりしませんか？
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補足
ご回答ありがとうございます。 >「その方法」に依存します． >というか。。。その定義を伏せる意味が >まるでわからないのですが(^^;; 本を読んでいた →その本では、収束を定義したと同時に位相空間とみなしていた →(何の説明もなく)位相空間だと言っていたので、一般論として収束を定義すれば位相空間とみなせるのだろう。(そうでないのなら、ちょっとくらいは位相空間とみなせる理由を書くでしょう) →収束を定義した後に、どうやって、開集合を見つけるのだろうか？ と思って、最後の部分を質問したんです。 >なんとかという本に，こういう集合にこういう収束性を定義したら >いつの間にか位相空間扱いされてたけど何ででしょう？ のように、特にこの本の場合に位相空間と思ってよいのか、という事ではなく、むしろ、一般論として位相空間とみなせるのか(どうやって開集合を見つけるのか)、という事を知りたかったのです。(その一般論で、"収束"をどう扱えばいいか、という事がネックではあったのですが) どういう状況を考えているのか、という例としては、弱収束のようなもので十分で、読んでいる本に書いてあるものである必要がありませんでした。正直、本に書いてある定義をいちいち書くのが面倒だったんですよね(←ぉぃ！)。一方、弱収束の例なら簡単に書けるし、しかも、伝わりやすいだろうと思ったんですよね。だから、(本に書いてあるものではなく)弱収束の例をあげました。 仰るように伏せる理由は全くないので、書いた方がよければいくらでも書きますが、結局は「弱収束の場合と同じ事をやって下さい」という回答になるだけだろうと思います。 ※もうほとんど解決したつもりでいるのですが、本当に弱収束の場合と同じかどうか考えてから締め切るか補足するかしたいと思っています