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「収束」を定義すれば、位相も定義できる？
BO-BO-keshiの回答
- BO-BO-keshi
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こんばんは！ 正直よく分からないんですが、 面白そうな内容なのでつい書き込んでしまいました(^-^；)ｗ 「収束の概念を定義する」とのことですが、 任意の点列に対して、それが収束するか否か、 収束するならばどの点に収束するのか、 をまず決めてしまうということですか？ …★ > そもそも何を「収束」と呼ぶべきかすら分からないですが、 > 一般的な定義あるのであればその定義と考えて差し支えありません。 収束という概念を位相が定義されていないところで 考えた事がない気がしますので分かりませんｗ もし収束を★のように定義したとして、 そこで定義した収束に対応する位相が存在する為には 適当な条件が必要だと思うんですが、 どんな条件なんでしょうか… バカな事や論点の外れた事を言ってたらどうしようｗ 半分思いつきなので一晩考えてまた来ますｗ
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補足
ご回答ありがとうございます。返事が遅くなってすいません。 >「収束の概念を定義する」とのことですが、 >任意の点列に対して、それが収束するか否か、 >収束するならばどの点に収束するのか、 >をまず決めてしまうということですか？ …★ まぁ、それでもＯＫです。でも、個人的には、「与えられた点列がαに収束するか否か」を決めるのがいいのかな、と思っています。 (まぁ、集合Ｘの点列の極限を考える時に、質問文に書いたような感じで、Ｘの開集合をあらわに使う形の定義でなければ問題ありません) ただ、何でもかんでも「極限だ」と言ってもどうしようもないので、「距離の公理」のような感じで、「極限の公理」みたいなものを設定する必要が出てくると思います(他の切り口もあるかもしれませんが)。 このことに関して、一般的な了解がある事をちょっと(いや、かなり)期待していたんですが、もしないとすると、私がここでそれを提示するしかないですよね。多分。正直、変な空間を考えようとしている訳ではないので、「なるほど確かに、nが大きくなるにつれて、αに近づいていそうだ」と思える定義なら何でもいいのですが(笑)、真面目な議論をしようと思ったら、そういう訳にはいかないんですよね・・・。「eaternの極限の公理」なるものを提示してもいいのですが、それでは、私のもともとの疑問とは違う方向に進んでしまうんですよね。困ったな。もうちょっと考えてみます。 >そこで定義した収束に対応する位相が存在する為には >適当な条件が必要だと思うんですが、 >どんな条件なんでしょうか… 「そのような位相が"無条件に"存在するのだろうか」という趣旨の質問です。