- ベストアンサー
「収束」を定義すれば、位相も定義できる？
kabaokabaの回答
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
>ある空間Ｘ上の点列(a_n)に対して「収束(極限)」の概念を定義したとしたとします。 これをどう定義します？そこが最重要です． 収束というのは「近づく」ということですが 「近い」というのは位相で定義されます． 近いという概念があって始めて「近づく」が考えられますよね． したがって， 収束の定義と位相の定義は同値というか 同じレベルのものではないと思います． >もし、必要なら、Ｘはベクトル空間としても構いません ベクトル空間というのは極めて強固な構造をもつ空間で 有限次元の場合は，多少語弊はありますが 位相空間的にみれば全部同じです． ＃ノルムがあったりすると，有限次元の場合は ＃どんなノルムも同じ位相を作るはずです ベクトル空間とした段階で位相が決まってしまう感じです． >ヒルベルト空間の線型演算子には、「弱収束」や「強収束」と言った概念がありますよね。これらの意味の収束を与える位相は存在するのか、という事です。 ヒルベルト空間といった場合には 必ず「ノルム」が存在し，そのノルムから導入される距離で 完備であり，位相はその距離によるものです． また，弱位相・強位相などはその位相から導入されるものであり 弱収束・強収束はそれぞれ弱位相・強位相から定義されます． バナッハ空間でも同様でしょう．
関連するQ&A
- 関数解析の問題です。
以下の問題で困ってます。どなたか解答をお願いしたいんですが。。 １．{xn}(n=1,∞)はバナッハ空間Xの点列でxに弱収束し、{ξn}(n=1,∞)はXの双対空間X’の点列でξに強収束するものとする。このとき数列{<xn,ξn>}は<x,ξ>に収束することを示せ。 ２．{xn}(n=1,∞)はヒルベルト空間Xの点列でxに弱収束し、数列{||xn||_X}は||x||_Xに収束するものとする。このとき{xn}(n=1,∞)はxに強収束することを示せ。 よろしくお願いします。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相空間の問題です．
位相空間の問題です． Xを位相空間としたとき，X上の点列x_nが収束することの定義について (1)∀N:xの近傍，∃n_0 s.t. n>n_0⇒x_n∈N (2)∀N:xの開近傍，∃n_0 s.t. n>n_0⇒x_n∈N (1),(2)が同値であることを証明せよという問題なのですが、どなたか解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数解析の問題です。。
１．{xn}(n=1,∞)はバナッハ空間Xの点列でxに弱収束し、{ξn}(n=1,∞)はXの双対空間X’の点列でξに強収束するものとする。このとき数列{<xn,ξn>}は<x,ξ>に収束することを示せ。 ２．{xn}(n=1,∞)はヒルベルト空間Xの点列でxに弱収束し、数列{||xn||_X}は||x||_Xに収束するものとする。このとき{xn}(n=1,∞)はxに強収束することを示せ。 １、２ともに{xn}が弱収束するので、ｆを有界線形汎関数として ||f(xn)-f(x)||<ε for ∀ε と仮定できます。 １の場合、これにプラスして仮定から ||ξn-ξ||<ε とでき、このとき ∀ε>0に対して∃N s.t. ||<xn,ξn>-<x,ξ>||<ε を示せばいいんですよね？ このあとどのように||<xn,ξn>-<x,ξ>||を変形したらいいのかわかりません。 ２についてもどのように変形していけばいいのかわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連続関数の定義に関して(位相空間)
「定義 (Ｘ、Ｏ_Ｘ)、(Ｙ、Ｏ_Ｙ)を位相空間とする。写像ｆ：Ｘ→Ｙが連続であるとは、Ｕ \in Ｏ_Ｙ→ｆ~(-1)（Ｕ）\in Ｘ を満たすことである。(ただし、Ａ\in Ｂは、ＡがＢに含まれているという意味とする)」 と”連続”の定義が位相空間論の本には載っていて、この定義がε－δ論法での連続の定義と同じであることが一般に言われていますが、どうして位相空間論における連続の定義では、ｆ^(-1)の存在を特に何の指定もなく認めてしまっていいのか、その辺りがよくわかりません。もしもわかっている方がいらっしゃれば、お教えいただけないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- lim[x→∞]f(x)の位相での定義は?
よろしくお願い致します。 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-a|<δ⇒|f(a)-f(x)|<ε』 は 『2つの位相空間(X, T)、(Y, S) と map f;X→Y と L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b),∃δ∈nbhd(a) such that f(δ)⊂ε}(a ∈X)に於いて、 L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい limf(x):=L x→a と表記する。そして、L=φの時、f(x)は発散すると言う』 という具合に一般で定義できると思います。 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』 に就いては、 『Bは位相空間(X*,T*)の部分集合Aの開被覆である』 の定義は 『T* の部分集合Bに於いて、A⊂∪[b∈B]b』 『位相空間(X*,T*)の部分集合Aはコンパクトである』 の定義は 『X* の部分集合Aの任意の開被覆B(⊂T*)に対し、∃{b1,b2,…,bn} ⊂B (n∈N) such that A⊂∪[i=1 to n]bi』 『位相空間(X*,T*)はコンパクト空間をなす』 の定義は 『位相空間(X*,T*)の部分集合X* はコンパクトである』 『位相空間(X,T)が位相空間(X*,T*)の中で稠密である』 の定義は 『X⊂X* 且つ φ≠∀A∈T* に対して,A∩X≠φ』 『位相空間(X*,T*)は位相空間(X,T)のコンパクト化である』 の定義は 『X* はコンパクト空間 且つ XはX* の中で稠密である』 従って、『x→∞』の定義は『xをa∈X* に近づける』を意味す るので εとδを使うと、 2つの位相空間 (X,T)、(Y,S) と map f: X → Y があり、位 相空間(X*,T*)は(X,T)のコンパクト化である時、 L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b,(Y,S)),∃δ∈nbhd(a,(X,T)) such that f(δ)⊂ε}(a∈X*)に於いて、 L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい lim f(x):=L x→a と表記し、 L=φの時、f(x)は発散すると言う。 例:実数体RではX*はR∪{+∞,-∞}に相当し、a∈{+∞,-∞} と定義してみたのですが、 どんな位相空間(X,T)やコンパクト化(X*,T*)では良いという訳ではなく、 夫々に何らかの条件を付け加えねばならないような気がします。 どのような条件を付ければ 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』 の一般での定義が完成しますでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 位相空間における集積点
Ｕ(n)={n∈Ｎ|n,n+1,n+2,…} Ｏ={Φ}∪{Ｕ(n)} と与えられています。(Ｎ：自然数、Φ：空集合) (Ｎ,Ｏ):位相空間におけるＡ={1,3,5,7,9}の集積点を求める問題で、質問があります。 私が解いた結果、集積点は 1,2,3,4,5,6,7,8 だなって思ったんです。(これあってますよね？？) で、問題はその後なんですけど、９以上の自然数が集積点でないことを示した方がいいですよね。その場合、 9≦x∈Ｎ については、 x∈Ｕ(n)となるＵ(n)は 1≦n≦x だが、 Ｕ(i)∩Ａ=Φ (for i≧9, i∈Ｎ) したがって９以上の自然数は集積点ではない。 っていう証明で、示せてますか？？なんか論理的じゃない気がして…。アドバイスしてもらえませんか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相の証明の書き方について
位相空間の証明を書いてみたのですが、どう書けば一番いいのか分かりません。 書き方が間違っているかどうか確認していただけると助かります！ （問題） 位相空間(X,Ｔ)とする。自然数の集合N＝{1,2,3,…}を添字集合とするXの部分集合族{An:n∊N}を考える。 An={1/n}⊂Rとおくとき、∪{(An ) :n∊N}と(∪{An:n∊N} ) ̅とは等しいかどうかを述べ、証明せよ。 （ ）は閉集合を表しています。 （証明） Ｘ＝Ｒで、｛An}は1/nで0に収束する点列なので、 An={1/n}の閉包（Ａｎ）＝Ａｎ よって、∪{(An ) :n∊N}＝Ｕ｛Ａｎ:n∊Ｎ｝となり0は要素ではない。 しかし、0は∪{(An ) :n∊N}の集積点で、0∊(∪{An:n∊N} ) よって、∪{(An ) :n∊N}⊂(∪{An:n∊N} )となり、∪{(An ) :n∊N}≠(∪{An:n∊N} ) と書きました。 間違っていれば、どこをどう直した方がいいのか教えていただけるととても助かります！！ よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学数学、位相、距離空間について
次の問題が分かりません。 距離空間（X,d）の部分集合Fについて、次の条件(1)と(2)は同値であることを示せ。 (1)Fは閉集合である。 (2)Fの点列｛ｘ_n｝がｘ∈Xに収束するならばｘ∈F 位相が苦手でほとんどわからないので、分かる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞これをどう定義します？そこが最重要です． う～ん、何て言ったらいいのかが分からないのですが、 演算子列{A_n}がAに(弱)収束する事を 任意のψ,φについて、<ψ|A_n|φ>→<ψ|A|φ> (n→∞) (←これは、Ｃにおける普通の意味の収束です) となる事、のように定義される事があります。この定義では、演算子の全体における「開集合」をあらわに使わずに「収束」が定義されていますよね。こういう状況を考えて欲しいです． もともとは、ある本を読んでいて思った疑問なんです。 あるR^d上の(ある条件を満たす)関数の集合(Ｘとします)に、ある方法で「収束」を定義し、Ｘにこの意味での収束を定義したものをＹと読んでいます。脚注やその後の記述を見る限り、どうもこのＹを位相空間と見ているようなのです。 仰るように、とにかく収束を定義したという事は、「近い」という概念を定義したという事ですので、その意味では何らかの位相があるのだろうという事は想像できます。しかし、位相空間と呼ぶには、「開集合」が必要ですよね。具体的に「どういう集合が開集合なのか」(または、そういう開集合を「収束」からどうやって見出すのか)という事がちっとも分からないのです。