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自由度1の2体回転運動のマクロ的考察（量子リング中の励起子の運動）
- 円環状のチューブ内で2つの異なる質点がクーロン相互作用を受けながら運動しています。
- 重心座標の導入により、2体の運動は相対運動と重心運動に分けることができます。
- 慣性モーメントテンソルが解明に鍵となる可能性があります。
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> こういう重心角度を導入して問題はないのか？ > 重心角度と相対角度への分離で、正しく運動方程式を記述することが出来るのか？ どちらのご質問に対しても 量子リングやホールなどといった物性のレベルで 問題があるか正しい運動方程式を得られるかは 専門外なのでわかりませんが， 古典的な解析力学のレベルでの話であれば オイラーラグランジュ方程式の許す範囲での変数変換なら 何を変数にとっても問題はありません． むしろ，重心角度と相対角度は 今の問題の運動方程式を解きやすくする 上手い変数となっている，ということです． ただし，解きやすくなった運動方程式を解いたときに 何を変数としていたかをちゃんと認識しておいて下さい． ちなみに，通常の重心の方向への角度を α，相対角度を β とした場合 計算ミスがなければ (1/2)*mv^2 + (1/2)*MV^2 = (1/2)*(m+M)R^2*(α')^2 + mMR^2(m-M)(1-cosβ) / (m^2+M^2+2mMcosβ)^2 * α'β' + (1/2)*mM(m+M)R^2*{ (m-M)^2 + mM(1+cosβ)^2 } / (m^2+M^2+2mMcosβ)^2 *(β')^2 …(※) のようになるので，第2項目のように α'β' に関する項が消えません． （m=M, β=0 のときに消えるので計算はあってるかな？） この式は m=M のときには，重心角度 θ_G と重心方向の角度 α が一致するので， 重心角度 θ_G を使った場合と同じ結果を与えます． したがって，m≒M であれば θ_G の運動と α の運動は近いものとなります． 私にはこれくらいしか言えそうにないので， 後は ※ 式に計算ミスがないか自分で導いて いろいろ検討をしてみてください．
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- ryn
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やっぱりやっちゃってました． ※式右辺第2項は 誤：mMR^2(m-M)(1-cosβ) / (m^2+M^2+2mMcosβ)^2 * α'β' 正：mMR^2(m-M)(1-cosβ) / (m^2+M^2+2mMcosβ) * α'β' です．
- ryn
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失礼しました． No.1 の回答は無視してください． θ_G = (mθ+Mφ)/(m+M) θ_r = θ-φ を使って θ,φ を θ_G, θ_r に変換するだけで， きれいに"重心角度"の項と"相対角度"の項に分離できます．
- ryn
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通常通り 重心速度：V_G = (mv+MV)/(m+M) 換算質量：μ = mM/(m+M) として (1/2)*mv^2 + (1/2)*MV^2 = (1/2)*(m+M)(V_G)^2 + (1/2)μ(v-V)^2 のように分けてから v = (-Rθ'sinθ, Rθ'cosθ) などを代入するのではダメですか？
お礼
何度も投稿いただき申し訳ない気持ちで一杯ですが、 本当に助かりました！ 実はrynさんの導いた計算結果は僕の方でも既に出していたのですが 、Euler-Lagurange方程式で書く分には何の問題もなく、むしろ平易な記述でいい変数変換になる、とのお言葉は計算を進めていく自信につながりました。 どうもありがとうございました！
補足
早速のレスありがとうございます！ 質問の書き方がとっても悪かったので、大事なことを書き忘れていました。 ○●○●○●○●○● こういう重心角度を導入して問題はないのか？ 重心角度と相対角度への分離で、正しく運動方程式を記述することが出来るのか？ ○●○●○●○●○● よろしければ、こちらに対しても考えをお聞きしたく思います。 通常で考えればrynさんのNo.1のような考え方をされると思うのですが、この重心/相対角度の導入はどうして出来るのか。 よろしくお願いします！