全射の個数を求める問題

質問

Ｘm→Ｘm-2　の個数を求めよという問題なんですが、よくわかりません。Ｘm-1の場合はmＣ2*（ｍ－１）！という答えだったのですが、これもいまいちよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

Tacosan

Xm→Xm-1 の全射を数えるわけですが, Xm-1 における置換はとりあえず無視して「m個の区別できるアイテムを m-1個の箱に, どの箱も空でないように入れる」ことを考えてます. この場合, 2個のアイテムが入る箱が必ず 1つだけ存在しますから, 「同じ箱に入るアイテムはどれとどれか」を考えればよくて mC2 通り存在することになります.
で, この状態でそれぞれの箱に「Xm-1 のどの要素に対応するか」を考えると (m-1)! 通りずつあるので mC2×(m-1)! 個の全射があるという計算になります.
同じことを Xm→Xm-2 の全射について考えると, 「1つの箱に 3個のアイテムが入り, その他の箱には 1つずつ」というパターンと「2つの箱にそれぞれ 2個のアイテムが入り, その他の箱には 1つずつ」というパターンの 2種類が存在することに気付かなければなりません. このそれぞれが何通りあるか数えて, その上で (m-2)! 通り区別する, ということになります.

回答No.1

Tacosan

Xm が何かをまず書くべきですね.
式から推測すると「m個の要素を持つ集合」だと思うんだけど, それでいい?
そうだとすると, Xm→Xm-1 の全射は次のように数えることができます:
全射だから Xm-1 の m-1個の要素は全て Xm のどれかの要素の像である必要があります. ということは, 当然 Xm の要素のうち写した結果同じ要素になるものが 1組 (2個) だけ存在します. その選び方が mC2. で, 写した先がどうなるかはやはり任意に選ぶことができて (m-1)! 通りだから掛ければ OK.
Xm→Xm-2 の場合もこの手順で考えることができます.

補足

ありとうございます！！
では同様に、mＣ2＊（ｍ－２）！というこたえでいいのでしょうか？
「写した結果同じ要素になるものが 1組 (2個) だけ存在します｝の意味がいまいちわかりませんでした。すみません。