価格と個数を求める問題について質問させてください。

質問

価格と個数を求める問題について質問させてください。
下記に解説を載せてあるのですが、「ゆえに、x=900-20k・・・イ」と「m=-1/2(900-20k)(900-20k-900)-4000k」の部分の意味がわからなく困っています。
別の解き方でも特に構いませんので、どなたか解説してもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

↓問題文
J商店が仕入れ価格1個400円の昼食用サンドイッチを販売している。このサンドイッチの1日の販売個数は販売価格の関数で、販売価格が1個500円のとき1日200個売れ、販売価格を値上げすると10円につき1日5個の割合で販売個数が減少し、また、値下げする時は、同じ割合で販売個数が増大するという。仕入れる個数は10個単位である。また、仕入れる個数は販売個数以上とし、売れ残りは廃棄するものとする。仕入れ個数を10k（kは自然数）とし、x円で販売するときの利益（販売総額から仕入れ総額を引いたもの）をy円とする。このとき、利益を最大にするときの仕入れ個数と販売価格はどれか。ただし、0<k≦22とする。

↓解説は以下
販売個数をnとすると、n=-5/10(x-500)+200=-1/2x+450・・・ア
よって、販売総額はnx=-1/2x^2+450xである。
x円で販売するときの利益y円は、
y=-1/2x^2+450x-4000k
=-1/2{x^2-900x+(450)^2}+1/2*450^2-4000k
=-1/2(x-450)^2+101250-4000k
また、条件より、n≦10k
アより-1/2x+450≦10k
∴x≧900-20k
ここで、0＜20k≦22より、
0＜20k≦440
460=900-440≦900-20k＜900であるから
450＜900-20kである。
ゆえに、x=900-20k・・・イ
で最大となるから
m=-1/2(900-20k)(900-20k-900)-4000k
=-200k(k-25)
=-200(k-25/2)^2+31250
となり、k=12,13のとき最大となり最大値は
-200*12*(-13)=31200円
で仕入れの個数は10k=120,130で、
販売価格は、それぞれ、x=900-20k=660,640
となり、ここで選択肢で当てはまるのは、130個と640円になる。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

xが放物線の軸より右にあるので，単調減少区間であるため
ｘが最小値のときにｙは最大値をとります。

x≧900-20k
ですから，x=900-20k　のときｙは最大。

m=-1/2(900-20k)(900-20k-900)-4000k
は，x=900-20k　のときのｙの値を求めています。

y=-1/2x^2+450x-4000k
=-1/2(x^2-900x)-4000k
=-(1/2)x(x-900)-4000k

へ代入しています。

ところで，解説に最後の方で，
ミスがあります。

>m=-1/2(900-20k)(900-20k-900)-4000k
>=-200k(k-25)
>=-200(k-25/2)^2+31250
>となり、k=12,13のとき最大となり最大値は

２行目以降は
『=-200k(k-45)
=-200(k-45/2)^2+33650
となり、k=22　のとき最大となり最大値は』

ではないでしょうか？
グラフは合っています。
したがって，k=22, n=220個, x=460円,　y[Max]=101,250円

補足

ご回答ありがとうございます。
わかりやすい解説で助かりました。
一応計算しなおしてみたのですが、計算は解説どおりであっているようです。
最後にグラフの画像について質問です。
xが0のときy=-400になっているのですが、-4000kにならない理由を教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

sono0315

N0.2です

式がどうやってでるのかについて

一次関数は知っていますか？　y=ax+bの形
個数をx、定価をyとすると

x=200のときy=500　x=190のときy=520　ということになりますね

これをとくと
y=-2x+900

となり、定価yが個数xの一次関数として与えられることが分かると思います

回答No.2

sono0315

売るとき
500円　200個
510円　195個
520円　190個

個数xとすると、定価は900-2xとなります。
つまり売り上げはx(900-2x)

これは個数を減らしていくほど売り上げが下がる単調減少です。(0個から220個の間で)
また仕入れは10単位でしか仕入れできないので
500円　売れた個数200個　仕入れ200個
510円　売れた個数195個　仕入れ200個
となるために売り上げ個数の1の位が5の端数がある場合は100％廃棄が出てしまい
仕入れ個数が同じことから、必ず損になります。

ここまでまとめると510円、530円といった金額の時を考える必要がない。(必ず廃棄が出て損)
つまり
500円　200個
520円　190個
540円　180個
という場合だけ考えればよいことになる。

次に仕入れの金額を考える。仕入れ個数は売上個数と等しい時を考える。
なので、個数xとすると仕入れ値は400xである

利益＝売上ー仕入れ値　なので
利益＝x(900-2x)-400x
利益＝-2x^2+500x

あとはこの利益の二次関数を平方完成または微分を用いて最大値を求める。
そうするとx=125のとき最大となる。

しかし125個の仕入れは不可能のため、120、130個の仕入れの時がそれぞれ最大となる。
つまりk=12,13

補足

ご回答ありがとうございます。

＞個数xとすると、定価は900-2xとなります。

この部分の900なんですが、どうやって出すのか教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。