数学の問題です、教えて欲しいです

質問

aを正の定数とする、xの二次関数
ｙ＝a(x＋1)二乗－x＋1の、0≦x≦1での最大値をaの関数としてM(a)と表す

この時
0＜a＜(ア)のとき　M(a)＝(イ)a＋(ウ)

(ア)≦aのとき　M(a)＝(エ)a＋(オ)

解答

(ア)1/3
(イ)1
(ウ)1
(エ)4
(オ)0

二乗のかき方がわからず文字ですみません
またお願いしに来ました
この問題のやり方を詳しく教えていただけると嬉しいです
よろしくおねがいします

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

y=a(x^2+2x+1)-x+1
=a(x^2+(2-1/a)x)+a+1
=a(x+(1-1/(2a)))^2+a+1-(1-1/(2a))^2
と変形できるので、この関数のグラフは
ｘ＝－（１－１／（２ａ））
　＝－（２ａ－１）／２ａ
を軸とする、下に凸の放物線になります。
この軸が、与えられたｘの範囲の中で右半分にあるか、
左半分にあるかで最大値を与えるｘの値が変わってきます。

与えられたｘの範囲は０＜＝ｘ＜＝１なので、ちょうど真ん中は
ｘ＝１／２です。

軸がｘ＝１／２よりも右にあるということは、
－（２ａ－１）／２ａ＞１／２
ということで、両辺を２ａ倍すると
－２ａ＋１＞ａ
３ａ＜１
ａ＜１／３
ということで、このときのｙの最大値はｘ＝０のときです。
元の関数にｘ＝０を代入するとｙ＝ａ＋１　です。・・・（あ）

逆に軸がｘ＝１／２よりも左側にあるということは
－（２ａ－１）／２ａ＜１／２
ということで、同様に
ａ＞１／３
ということで、このときのｙの最大値はｘ＝１のときです。
もとの関数にｘ＝１を代入するとｙ＝４ａです。・・・（い）

では軸がちょうどｘ＝１／２と一致する場合はというと、
ａ＝１／３　であり、このときｘ＝０でもｘ＝１でもｙの値は
同じになるので、どちらをｙの最大値としてもいいことに
なります。この問題では（い）のケースに含めている
ようです。

軸の位置によって最大値が変わることは図を描いて
考えてみて下さい。ｘｙ座標上にｘ＝０とｘ＝１に挟まれた
帯のようなものがあって、そこを放物線が左右に動く
イメージです。いろいろ動かして、上記の帯の範囲内で
ｙの値が一番大きくなるところを探しましょう。

補足

わからなくてごめんなさい
y=a(x^2+2x+1)-x+1
=a(x^2+(2-1/a)x)+a+1
=a(x+(1-1/(2a)))^2+a+1-(1-1/(2a))^2

この式の一段目から二段目に行くところからわかりません
これは平方完成とかですか…？違いますよね汗
どのように考えると一段目から二段目の式にできるか教えてもらうことはできますでしょうか

すいません

回答No.4

yyssaa

＞y=a(x+1)^2-x+1=a(x^2+2x+1)-x+1=ax^2+(2a-1)x+a+1
=a{x^2+(2-1/a)x}+a+1=a{x+(2-1/a)/2}^2+a+1-a{(2-1/a)/2}^2
=a{x+(2-1/a)/2}^2+2-1/4a
これをf(x)とすると、y=f(x)のグラフはa＞0だからx=-(2-1/a)/2を対称軸とする
下に凸(∪のような形)の二次曲線であり、0≦x≦1での最大値M(a)は、
対称軸x=-(2-1/a)/2の位置、すなわちaの値によってf(0)又はf(1)となる。
図を描くと分かり易いが、
(ア)対称軸x=-(2-1/a)/2=1/2の時、すなわちa=1/3のときはM(a)=f(0)=f(1)=4/3
(イ)対称軸x=-(2-1/a)/2＜1/2の時、すなわち1/3＜aのときはM(a)=f(1)=4a
(ウ)対称軸x=-(2-1/a)/2＞1/2の時、すなわち0＜a＜1/3のときはM(a)=f(0)=a+1
となる。
このうち(ア)のM(a)=4/3はa=1/3のときだからM(a)=4aであり、(ア)と(イ)はまとめて
1/3≦aのときM(a)=4aとなる。
以上の結果を（ア）～（オ）に当て嵌めると解答のようになります。

お礼

2、3さんのと一緒に見ながら解かせていただきました
こちらもとても細かくかいていただけてとてもありがたいです
自力で解けるよう頑張ります

ご協力ありがとうございました
2、3さんに書けてませんがお二人ともまた機会がありましたらぜひ教えていただけると嬉しく思います
ありがとうございました

回答No.3

gohtraw

＃２です。
y=a(x^2+2x+1)-x+1
=a(x^2+(2-1/a)x)+a+1
=a(x+(1-1/(2a)))^2+a+1-(1-1/(2a))^2

の一段目から二段目では平方完成をするために
－ｘを括弧の中に括りこみ、括弧のなかにある
＋１を括弧の外に出しています。丁寧に書く
なら
y=a(x^2+2x+1)-x+1
=a(x^2+2x-x/a)+a+1
=a(x^2+(2-1/a)x)+a+1
=a(x+(1-1/(2a)))^2+a+1-(1-1/(2a))^2
でしょうか。

お礼

そういうことだったんですか！
もう一度来てくださって感謝ですありがとうございます

納得できました
わからなくてすみませんでしたこれで自力で解くの頑張ります
本当にありがとうございました

回答No.1

Willyt

与式は放物線であることは分りますよね。この放物線は a が正のときは下に凸な放物線で、 a が負のときは上に凸な放物線になります。下に凸な放物線の最大値は与えられた両端の値の大きい方になり、上に凸な場合の最大値は頂点が両端にある場合には頂点の値、そうではないときは両端の値の大きい方になります。これが分れば後は自分でできますよね。何でもかんでも解答まで教わってしまうのでは勉強にならないのでこれから先は自分でやって見て下さい。

お礼

1さんの言っているところまではわかるのですが式がうまくいかず困ったので力を貸していただきたかったんです

遅くなりましたが解答ありがとうございました