• ベストアンサー

応力計算

電子系のもので機械の応力の問題で困っています。応力６成分σx=120,σy=80,σz=-100,τxy=70,τyz=50,τzx=-30MPaで方向余弦がl,m,nが1/2,1/2,>0のとき面に作用する応力P、垂直応力σ、せん断応力τ、Pとσのなす角を求めたいのですが、この方向余弦が良く分かりません。X、ｙ、ｚ方向のそれぞれの力のつりあい(例：X＝σx*l+τxy*m+τzx*n)を考えP^2=σ^2＋τ^2,P=X^2+Y^2+Z^2等の式を用いて計算するのだと思うのですが、方向余弦の意味が良く分からないため(特にｎ)解くことができません。どなたかご解説お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#21219
noname#21219
回答No.2

ベクトルの内積の表現は二つあります。 A↑=(Ax,Ay,Az),B↑=(BX,By,Bz)として まず一つ目は：A↑・B↑=AxBx＋AyBy＋AzBz 二つ目が、A↑とB↑のなす角をθとして A↑・B↑=｜A↑∥B↑｜cosθ ｜　｜はベクトルの絶対値を意味します。 よって｜A↑∥B↑｜cosθ=AxBx＋AyBy＋AzBz だからcosθ=(AxBx＋AyBy＋AzBz)/｜A↑∥B↑｜ これを、A↑をP↑、B↑をσ↑として適用するだけです。 ただ、σ↑の単位ベクトルは方向余弦ベクトル:(l,m,n)なので σ↑の代わりに方向余弦ベクトルを使っても大丈夫です。 そのほうが絶対値の計算の時にいくらか楽です。 絶対値の計算は、例えばA↑なら、 ｜A↑｜=√(Ax^2＋Ay^2＋Az^2)　 などとなります。

3553goemon
質問者

お礼

何度も答えていただき助かりました。わかりやすい解説どうもありがとうございました。

その他の回答 (1)

noname#21219
noname#21219
回答No.1

方向余弦とは単位ベクトルのことです。 (l,m,n)というベクトルが与えられたら、そのベクトルの方向 に対して垂直な面を考えると言うことです。何故なら、応力と言うのは ある空間における点(x,y,z)だけ与えても定まらないからです。 その点がどの面上にあるのかまで指定しなければ応力は定まりません。 方向余弦が(1/2,1/2,0)なら、これはz軸に対して平行で、かつ x,y軸と各々45度で交わっているような面を指定しています。 （正確には(1/√2,1/√2,0)と規格化します。） また、実際の計算は、コーシーの公式を使うのではないでしょうか？ 応力テンソルの行列(対称行列)×(l,m,n)t=(Px,Py,Pz)t (tは転置して列ベクトルにしていると言う意味です。) 垂直応力は、P↑が求まったら、面に垂直な単位ベクトルk↑と P↑との内積により求まります。P↑・k↑ この場合k↑は、方向余弦です。P↑と方向余弦の内積で 垂直応力が出ます。Pxl＋Pym＋Pzn=垂直応力σ 残りのせん断応力は、ご質問に書いてあるとおりです τ=√(P^2-σ^2)

3553goemon
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。ちなみにPとσのなす角はどのようにして求めればいよいのでしょうか？

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 自然科学
  4. 物理学

関連するQ&A

  • 純粋せん断応力状態とは？

    　純粋せん断応力状態を考えているのですがよく分かりません。３次元の応力テンソルで考えた時に 　σx＝－σyで　σz＝0　でτxyだけが作用する状態を指しているらしいのですが、σx＝－σyという所が理解できません。どなたか分かる方教えていただけませんか？

  • フェルマー点から三角形の頂点への距離を求めたい、3元連立2次方程式

    三角形ABCがあり、BC=a,CA=b,AB=cとします。 内部に点Pをとり、∠BPC=∠CPA=∠APB=120度となったとします。 この点はフェルマー点と呼ばれます。 PA=x,PB=y,PC=zとして、それらを具体的に求めたいのです。 余弦定理で、 y^2+z^2+yz=a^2 z^2+x^2+zx=b^2 x^2+y^2+xy=c^2 これをx,y,zについて解いて具体的に書くとどうなるのでしょうか? 普通には求められそうもないので、x,y,zの代わりに、たとえば、 x+y+z,xy+yz+zx,xyzを求めようともしましたがうまくいきません。 代数的に解く代わりに、たとえば、三角関数を使って解こうとしてもうまくいきません。 なにかいいアイデアはないでしょうか。

  • お願いします

    x＋y＋z=a, xy＋yz＋zx=b , xyz=cとおくとき x＾3 ＋　y＾3＋　z＾3をa,b,cを用いて表すことがわかりません。 因数分解など考えたのですがわからなくて 答はa＾3 -3ab ＋3c ^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz からどのように代入するかよくわからなくて (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)がもうすこまとまれそうな感じがするのですが 例えば（ｘ－ｙ）＾2・(y-z)＾2・ (z-x)＾2 のような感じで でもわかりません おねがいします

  • 連立方程式

    x^2+y^2+z^2 = -2(xy+yz+zx) と (x^2+y^2+z^2)^2 = 2 + 2(xy + yz +zx)^2　を どのように連立方程式で解くかわかりません。 答は-1と２ですが、どのように求めるかわかりません。 お願いします。

  • 主応力の公式の導き方

    土木の応用力学の質問なんですが、誰か詳しい方、教えてください。 互いに垂直に交わる2方向の引張、圧縮、せん断力の項目で、 　　σｎ＝σx cos^2Φ＋σy sin^2Φ＋τxy sin2Φ 　　tan2Φ＝2τxy / （σx－σy） という公式がありますが、この２式から主応力を求める公式 　　σ1,σ2＝(（σx＋σy）/ 2)±√(（σx＋σy）/ 2)^2＋τxy^2 を導くと教科書には書いてあるのですが、どうやるのでしょうか？？？ 誰か、知っている人教えてください。よろしくお願いします。

  • 行列式の等式の証明

    ｜1+x^2　　xy　　　　　xz　｜ ｜ yz　　　1+y^2　　　 yz　｜　=　1+x^2+y^2+z^2 ｜ zx　　　 zy　　　　1+z^2｜ を証明せよ。という問題です。 ｜　１　　　x　　　　y　　　　　　z　｜ ｜　０　　1+x^2　　xy　　　　　xz　｜ ｜　０　　yz　　　1+y^2　　　 yz　｜　 ｜　０ 　　zx　　　 zy　　　　1+z^2｜ から導け、と解答には書いてあるのですが、どのように導けばいいのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。

  • 至急！次の実に次形式の符号数を求めてください（><

    数学・幾何の問題です。 (1)xy+yz (2)x^2+2y^2+2z^2+2xy+2zx (3)x^2+xy+yz (4)x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx 明日がテストで急ぎなんです： 分かる問題だけでもいいんで教えてください（＞＜）

  • 対称式

    こんにちは。 よろしくお願いいたします」。 x+y+z=2√3,xy+yz+zx=-3 xyz=-6√3 を満たす実数x,y,zについて次の式の値を求めよ。 （１)x^2/yz+y^2/zx+z^2/xy (2)x^4+y^4+z^4 (1)はできたのですが、(2)がとき方すらわかりません。 答えは(1)-4,(2)162 です。 教えてください。 よろしくお願いいたします。

  • 数学　対称式

    x^3＋y^3＋z^3を x＋y＋z xy＋yz＋zx xyz で表すには x^3＋y^3＋z^3－3xyz＝(x＋y＋z)(x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－zx) とわかるのですが なぜこのように 因数分解出来るのですか？ このように因数分解する 『過程』を 面倒ですが、 教えていただきたいです。

  • ……数学Aの問題……

    X、Y、Zを実数とするとき、下記の問題を求めなさい (1)　X^2＋Y^2＋Z^2≧XY＋YZ＋ZXを示し、等号が成り立つときの X、Y、Zの条件を求めなさい。 (2)X＋Y＋Z＝1のとき、 XY＋YZ＋ZX≦1/3を示し、 等号が成り立つときのX、Y、Zの値を全て求めなさい。 を、教えてください(泣)

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する