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主応力の公式の導き方
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- gon899sa
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三角関数の公式から cos^2φ= (cos2φ＋１)/2 , sin^2φ + cos^2φ=1 σxcos^2φ + σysin^2φ= σxcos^2φ + σy(1- cos^2φ)=(σx - σy)cos^2φ + σy = (σx - σy)(cos2φ＋１)/2 + σy =(σx + σy)/2 + (σx - σy)/2･cos2φ ∴σn=(σx + σy)/2 + (σx - σy)/2･cos2φ-τxysin2φ 三角関数の公式から Asin2φ＋Bcos2φ=√(A^2+B^2)cos(2φ+2α) からA=(σx - σy)/2, B=τxyとおき、 σn=(σx + σy)/2 + √｛(σx - σy)^2/4+τxy^2｝cos(2φ+2α) 同様にせん断応力も τ= (σx - σy)/2･cos2φ+τxysin2φ =√｛(σx - σy)^2/4+τxy^2｝sin(2φ+2α) となります。 主応力はτ=0 となる条件で、2φ+2α=0 or πの時 τ=0、この時、σnは、主応力σ1、σ2 cos(2φ+2α)=1 or -1 から得られますので確認してください。
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