主応力の公式の導き方

質問

土木の応用力学の質問なんですが、誰か詳しい方、教えてください。

互いに垂直に交わる2方向の引張、圧縮、せん断力の項目で、

　　σｎ＝σx cos^2Φ＋σy sin^2Φ＋τxy sin2Φ

　　tan2Φ＝2τxy / （σx－σy）

という公式がありますが、この２式から主応力を求める公式

　　σ1,σ2＝(（σx＋σy）/ 2)±√(（σx＋σy）/ 2)^2＋τxy^2

を導くと教科書には書いてあるのですが、どうやるのでしょうか？？？
誰か、知っている人教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

AoDoc · ベストアンサー

三角関数の公式から
　cos^2φ= (cos2φ＋１)/2 , sin^2φ + cos^2φ=1

σxcos^2φ + σysin^2φ= σxcos^2φ + σy(1- cos^2φ)=(σx - σy)cos^2φ + σy
= (σx - σy)(cos2φ＋１)/2 + σy =(σx + σy)/2 + (σx - σy)/2･cos2φ
∴σn=(σx + σy)/2 + (σx - σy)/2･cos2φ-τxysin2φ

三角関数の公式から
Asin2φ＋Bcos2φ=√(A^2+B^2)cos(2φ+2α)
からA=(σx - σy)/2, B=τxyとおき、

σn=(σx + σy)/2 + √｛(σx - σy)^2/4+τxy^2｝cos(2φ+2α)

同様にせん断応力も
τ= (σx - σy)/2･cos2φ+τxysin2φ
　 =√｛(σx - σy)^2/4+τxy^2｝sin(2φ+2α)
となります。
　主応力はτ=0 となる条件で、2φ+2α=0 or πの時　τ=0、この時、σnは、主応力σ1、σ2
cos(2φ+2α)=1 or -1
から得られますので確認してください。

お礼

何とかわかりそうです。
公式自体知らなかったです・・（恥）
三角関数を勉強しないといけないですね・・。
丁寧に解説していただいてありがとうございました。