モールの応力円について教えてください。

質問

モールの応力円について教えてください。
なんで2θなんですか ？

http://solid4.mech.okayama-u.ac.jp/モールの応力円.pdf

このURLから
モールの応力円の式を使って、
σ＝σxを代入すると、τ＝±τxy、
σ＝σyを代入すると、τ＝±τxy、
なのでσxとσyは対称の関係となんとなくわかりました。
そして、x軸との角度を求めるのですが、なぜかいきなり2θって定まってます。なんでですか？
モールの応力円の式を導くための垂直応力と剪断応力の2式があります。
垂直応力の式にσ＝σx代入してθで微分してみたら、
tan2θ＝τxy /(σx -σy)/2 になりました。図と見比べてこれで確かに
?=2θになります。
しかし、剪断応力の式にσ＝σx代入してσで微分してみたら、
tan2θ＝(σx -σy)/2/τxyになってしまいました、、
なんで？反対こになるの？数字代入した時点でθ微分できないから？
だとしたらやっぱり2θっていきなり定まっている理由がわからない、、

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

2θになるのは、「モールの応力円の式を導くための垂直応力と剪断応力の2式」に、2θが含まれるからです。
　図がちょっとわかりにくいですけど、両式は水平面からθ傾いた面における直応力σ(θ)とせん断応力τ(θ)を、水平方向と垂直方向の直応力σx，σyおよびτxyで与える式です。

　σ(θ)を「θで微分して0とおく」のは、直応力が最大／最小になる面の方向を知りたいからです。なので「垂直応力の式にσ＝σx代入してθで微分してみたら、」というところがちょっとわからなかったのですが、普通はσ＝σx代入せず、そのまま「θで微分して0とおきます」。結果は、

　　tan2θ＝2τxy/(σx－σy)　 　　(1)

になるはずです。

　同様に、せん断応力の最大／最小方向を知りたいので、τ(θ)をそのままθで微分して0とおきます。

　　tan2θ＝－(σx－σy)/τxy/2　　　(2)

になるはずです。

　誤解してると思うのですが、(1)のθは直応力が最大／最小になる方向を表し、(2)のθはせん断応力が最大／最小になる方向を表すので、じつはこの2つのθは別物です。だから本来、(1)，(2)は、

　　tan2α＝2τxy/(σx－σy)　 　　(1')

　　tan2β＝－(σx－σy)/τxy/2　　　(2')

とでも書くべきなんですよね。

　2αと2βのtanが互いに逆数になるという事は、2αと2βの差が90°で、αとβの差、すなわち主応力面（最大／最小直応力面）と最大／最小せん断応力面の角度差が45°という事を表します。