• 締切済み
  • 困ってます

一般2次曲線の放物線型

4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0・・・(1)を標準形になおす問題で、計算手順がわからないので質問します。 (xyの係数)^2-4(x^2の係数)*(y^2の係数)=16-16=0で(1)は放物線であることはわかるのですが、(1)をxについて偏微分したものの方程式=0と、yについて偏微分したものの方程式=0を連立方程式として解こうとすると、 (xyの係数)^2-4(x^2の係数)*(y^2の係数)=0・・・(2)より連立方程式が解を持たないので、(1)の原点を平行移動した方程式が求まりません。 楕円型などでは、(xyの係数)^2-4(x^2の係数)*(y^2の係数)≠0より、与えられた方程式を平行移動した式が求まり、そこから、tan2θ=(xyの係数)/{(x^2の係数)-(y^2の係数)}・・・(3)を満たすθだけ、座標軸の回転(tanθ=1/2のとき、sinθ=1/√5,cosθ=2/√5より原点を平行移動した座標軸をX,Yとし、さらに座標軸をθ回転した座標軸をX',Y'とすると、X=(1/√5)*(2X'-Y')とY=(1/√5)*(X'+2Y')を原点を平行移動した方程式に代入すると、xyを含む項が消える。)した式を求めて答えの方程式をもとめています。 また(1)の座標軸を回転移動した軸をX,Yとすると、(2)より回転移動後のX^2かY^2の係数は0になるということで、(1)における(3)を求めて、tanθ=-1/2よってsinθ=-1/√5,cosθ=2/√5まで求めたのですが、tanθ=-1/2でX^2の項が消えるか、Y^2の項が消えるかどちらかわからないので、計算しようがないです。 どなたか、一般2次曲線の放物線型において、座標軸を平行移動した方程式と、座標軸を回転移動する式を代入する方程式、の求め方を教えてください。お願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

みんなの回答

  • 回答No.2

http://math-juken.com/kijutu/2jikyokusenhanbetu/ を読めばより深い理解が得られると思う。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

詳しい説明が書かれていました、ご紹介ありがとうございます。

  • 回答No.1

D=0 ゆえ、「無心2次曲線」です。 このグラフを原点のまわりに α=arctan(1/2) だけ回転して、 Y = {1/(2√5)}*X^2 を得ます。 ----------------- ※ 点(x, y)を原点のまわりに角αだけ回転して (X, Y) になるものとすると、回転行列 R(α) をかけて、 (X Y) = R(α)*(x y) ⇔ (x y) = R(-α)*(X Y) ですから、 x = X*cos(α) + Y*sin(α), y = -X*sin(α) + Y*cos(α). なる関係があります。 これを原式に代入し、XY の係数を0と,なるようにαを選んでください。 -----------------

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

平行移動した式を考えずに、問題に書かれた式に座標を回転する式を代入したら、お返事どおりの放物線になりました。xyの項を消す計算手順の説明ありがとうございます。

関連するQ&A

  • 放物線を回転させるとどうなりますか?

    ふと思ったのですが、放物線を座標上で回転させると、どのような式で表せる図形になるのですか?たとえば、y=x^2と合同な図形(放物線)を直線y=xに原点で接するように(かつ第四象限に入らないように)移動させると(簡単に言えば、放物線を頂点を軸に回転移動させると)どうなりますか? とりあえず、ひとつのxに対して複数の解(y)が出るので、関数でないことはわかるのですが、この放物線は一体どういった式で表せるのですか、教えてください。

  • 放物線

    放物線 Y=X²-2X を、X軸方向へ-3、Y軸方向へ4だけ 平行に移動して得られる放物線の方程式は Y=(?)、 直線Y=3に関して対照移動して得られる放物線の方程式は Y=(??)である。 この(?)と(??)の答えは何ですか? どのように計算していけばいいですか? 考え方もわからないので、 どなたか、わかりやすく教えてもらえませんか?

  • 一般2次曲線の方程式の1次の項消去

    偏微分した式と、方程式の判別式の2次の項の係数との関係がわからないので質問します。 f(x,y)=ax^2+hxy+by^2+cx+dy+e=0・・・(1)について、(1)をxについて偏微分したものの方程式、f'_x=2ax+hy+c=0・・・(2)と、yについて偏微分したものの方程式、f'_y=hx+2by+d=0・・・(3)は、h^2-4ab≠0のときは解x=α,y=βを持つ。がわかりません。本では、座標軸を平行移動して、原点を(α,β)に移すとcxとdyの項が消えると書いてあります。自分は(1)をxについての2次方程式と考え、その判別式D_1とすると、 D_1=(h^2-4ab)y^2+(2ch-4ad)y-4aeとなり、h^2-ab≠0では(1)は2つの実数解や2つの虚数解を持ったりするといったことと、(2)や(3)との関連性がまったく見つけられませんでした。また(f'_x)(f'_y)=0をxについての2次方程式と考えても、同じく関連性はわかりませんでした。インターネットで調べると、(1)から1次の項やxyの項を消すには、行列を使った解説が多いのですが、できれば大学レベルの行列の知識を使わず、高校数学の範囲で解説してくださると助かります。どなたか(1)において、h^2-4ab≠0のときは2ax+hy+c=0、hx+2by+d=0の連立方程式が、 解x=α,y=βを持つ。ことを解説してください願いします。

  • 放物線に接する円

    解き方が分からないというよりは、解いていておかしな点に気づいたので質問させて頂きます。 「座標平面のx>0の部分に半径1/2の円があり、x軸と放物線y=x^2に接している時、その円の中心の座標を求めよ。」 という問題なのですが、私は、円の方程式と放物線の方程式を連立、つまり、円の中心のx座標をaとして (x-a)^2+(y-1/2)^2=(1/2)^2 y=x^2 という二式を連立すると、xについての4次式になるので、これが二重解を2つ持つ(x<0の円も考えてしまっているため)、というふうにして解こうと思ったのですが、 実際やってみると、 x^4-2ax+a^2=0 となって、x^2の項が消えてしまいました。 この問題が載っている本の解答では、上で連立してできた式と同値の式に加え、接するという条件から、接点における接線の傾きを考えることによって解いていました。 それはそれで理解できたのですが、自分がやったやり方も割とポピュラーなものだと思うので、何がいけなかったのか…と考えているのですが分かりません。 分かる方いらっしゃいましたら、回答宜しくお願いいたします。

  • 2次曲線です!

    焦点が原点で、準線が直線x=-2k(kは定数)である放物線の方程式を求めよ。 これは準線がx=-2kなので焦点が(2k,0)の放物線はy^2=8kx それで焦点を原点にするためにx方向に-2k平行移動させてy^2=8k(x+2k)にしました。 しかし答えが違います。 どこがどう違うのか教えてください><

  • 放物線の問題です

    次の放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行して得られる放物線の方程式を求めよ。 y=3x^2+x-4 問題は有るのに答えを無くしてしまいました><  答えを教えてくださいm(__)m

  • 【急ぎ】放物線の平行移動の問題

    y = (x - 10)^2 - 12 を x軸に平行に +5動かし、y軸に平行に-7動かす。 この平行移動後の放物線の方程式は?という問題なのですが、 y = (x - 15)^2 - 19 だと思ったのですが、友達と答えが違っていたため不安になり質問させていただきました。 こちらの答えであっているのでしょうか? また、頂点は(15,-19)でしょうか?

  • 放物線を表す式

    頂点が直線y=x上にあり、2点(0,3)(4,19)を通りy軸と平行な軸を持つ放物線の方程式ってどうやって求めればいいのでしょう? どなたか教えてください

  • 2次曲線の標準形について

    教科書に書かれてある2次曲線の標準形についてですが、これは使うときに条件ってあるんですか? 特に放物線はpを焦点の座標としたときy^2=4pxやx^2=4pyと表されますが、次のような問題の場合これがうまくいきません。 焦点が原点にある放物線を考える。~~~ これでは明らかにp=0ですから方程式は導かれません。解答では「p≠0の条件のもとで~~~これをp平行移動して~~~」などとしていました。結局教科書をよくよくみてみると放物線が原点を通っていて焦点と準線が原点を境に対称に位置しているときだけのことを書いてると思ったのですが... ちょっと不安なんでアドバイスよろしくお願いします。

  • 次の問題を解いてください、お願いします!

    次の問題を解いてください、お願いします! 次の放物線を()内に示したように平行移動、あるいは対称移動して得られる放物線の方程式を求めなさい。 Y=2分の1x^2-3X+2(Y軸対称、X軸対称、原点に関して対称)それぞれを求めよ。