確率・期待値

質問

１つの細胞が、ステップ毎に、確率ｐで２つに分裂し、確率１－ｐで死滅するモデルを考えます。

ｎ世代での細胞数がｍである確率をP(Xn=m)と表すと

第０世代の生物数を１として
第１世代ではP(X1=2)＝p、P(X1=0)＝1-p
第２世代ではP(X2=4)＝p^3、P(X2=2)＝2(p^2)(1-p)、P(X2=0)＝1-2(p^2)+(p^3)

などと表せることになりますが、一般のP(Xn=m)はどのように表されるのでしょうか？
（漸化式のようなものを使って考えるのではないかと思うのですが、やってみたところとても煩雑になってしまい手が詰まってしまいました。漸化式以外のいい方法があるのでしょうか…）
教えてください、よろしくお願いいたします。

回答No.2

hrm_mmm · ベストアンサー

＞n世代でm個になるためには、n-1世代の細胞数Xn-1のうち、m/2個が分裂し、(Xn-1)-m/2個が死滅する必要があるので

mは偶数、n-1世代の細胞数Xn-1も偶数なので、
n-1世代で生き残って分裂したm/2個をiとして、死亡した個数を(Xn-1)-i=j個とする時、
iが奇数なら、jも奇数、iが偶数ならjも偶数となる必要がある。
ということで漸化式がちょっと違うようです。

P(Xn=2i)=ΣP(Xn-1=i+j)・{(i+j)C(i)}・{p^i}・{(1-p)^j }
iは0から2^(n-1)の範囲で
Σをとるｊの範囲は、iが偶数の時 0から{2^(n-1)-i}までの偶数、iが奇数の時 1から{2^(n-1)-i-1}までの奇数
ということで、場合分けが複雑なので、一般化は難しいかと思います。
プログラムを組むなら、再帰関数が作れれば計算出来るでしょう。

死滅する確率と、その世代の最大数2^nとなる確率なら一般化出来そうです。
P(Xn=0) =　Σ{ (1-p)^(1+2j) }, Σはj=0→2^(n-2)、n=1の時は、j=0のみ
P(Xn=2^n) = p^( Σ2^k ), Σはk=0→(n-1) = p^( 2^n -1 )

お礼

漸化式のミス、失礼しました。

仰る通り最大数と死滅以外のケースの一般化はやはり難しいのですかね…。

ありがとうございます。

回答No.1

goma_2000

例として挙げられている式が違っているようですが如何でしょうか。念のため問題を整理します。もしこちらの認識が間違って居たら申し訳ありません。
又この回答は最終的な式を求めるものになっておりません。漸化式までとなっておりますのでご了承ください。

問題）
次の世代に行く際に分裂するか分裂しないかはp,(1-p)の確率で決まる。
その際複数の細胞が同時に分裂することもありえる。

考え方）
１）
m個の細胞があった場合にa個分裂する確率は

mCa × p^a × (1-p)^(m-a)

で表せる。
ここでmCaはm個の中からa個取り出す組み合わせです。
これにより m個 → m+a個 に細胞が増える確率が計算できる。

２）
n世代で細胞数がmになる確率はその前の世代の確率を用いて

P(Xn=m) = Σak × P(Xn-1=k)

より計算することが出来る。このとき和を取る範囲は

k=m/2+1 ～ min(2^(n-1),m)

となる。
minの制約は、前の世代の数の上限より大きな数を想定する事は出来ないことから来る制約です。

３）
係数akは１）の考え方を用いて、前の世代でk個だったものがm個になる確率となるので

ak = kCm-k × p^(m-k) × (1-p)^(2k-m)

と計算できます。

漸化式）
よって最終的な漸化式は

P(Xn=m) = ΣkCm-k × p^(m-k) × (1-p)^(2k-m) × P(Xn-1=k)

となります。和を取る範囲は前述の通りです。

如何でしょうか。

お礼

丁寧にご回答いただき嬉しいです、ありがとうございます。
いくつか表現が分かりづらかったようで、すみません。

問題の内容についてですが
細胞が2個に分裂するか、そのまま1個でとどまるか、の二択ではなく
細胞が2個に分裂するか、死滅するか、という二択で考えています。

n世代でm個になるためには、n-1世代の細胞数Xn-1のうち、m/2個が分裂し、(Xn-1)-m/2個が死滅する必要があるので

P(Xn=m)=ΣP(Xn-1=m/2+2k)・(m/2+2k)C(m/2)・{p^(m/2)}・(1-p)^(2k)
Σをとるkの範囲は、0から{2^(n-1)-m/2}/2

と、考えたのですが、この漸化式からP(Xn=m)をnとmだけの関数の形に解くことはできないのでしょうか？？