2階非同次線形微分方程式の問題

質問

y"+y=sinx
という問題があるのですが、
参考書に同じような例題などがのっていなくて苦戦しています…。
どなたかおしえてください。

回答No.1

adinat

類題が載っていないというなら、もっとよい参考書を手にされた方がよいとは思います。規約に課題内容の転載はダメだとあります。以後慎んでください。

類題を一つ紹介しておきます。これで間違いなく解けるので、参考にしてください。

非同次(非斉次)線形微分方程式は定数変化法を使って解くのが定跡です。具体的には次のようにやります。
例題：y'+y=e^(-x)
同時(斉次)方程式：y'+y=0を考えて、まずそれを解きます。これは簡単にy=Ae^{-x}というのが分かります。Aは任意の定数です。そこで、非同次版y'+y=e^(-x)の解を、同時版の解の定数を無理やり変数だと思って、y=A(x)e^{-x}だと仮定します。これを定数変化法といいます。あとはこれを元の方程式に代入して、y'=(A'(x)-A(x))e^{-x}に注意すれば、
A'(x)e^{-x}=e^{-x}
が得られます。すなわちA'(x)=1であって、A(x)=x+Cという形になります。元に戻って、y=(x+C)e^{-x}が求めたい答えというわけです。

この解法は求めたい答えyではなくて、yにe^xをかけてやったA(x)=(e^x)yの満たす微分方程式がA'(x)=1という簡単な微分方程式になるということを利用した解法です。要するに一種の変数変換なのです。どのような変数変換がうまくいくか、ということが問題になりますが、それは実は同次方程式の解を用いるとうまくいく、というトリックなのです。これはもちろん理論的に導くこともできますが、経験的なものとして納得されれば十分だと思います。

今の問題の場合は、二階の方程式ですから、y''+y=0を解いて、y=Asin(x)+Bcos(x)です。そこでy''+y=sin(x)の解をy=A(x)sin(x)+B(x)cos(x)とおいて、元の方程式に代入するわけです。そうするとA(x)とB(x)に関する連立微分方程式が出てきます。これは本質的には1階の同時連立線形微分方程式であって、容易に解くことができます。ご自身で確かめてみてください。

非線形の場合はこれではすぐにはうまくいかないのですが、線形方程式の場合は、この定数変化法によって、非斉次方程式を斉次方程式にうつしかえることができます。