微分方程式

質問

y'sinx-ycosx=tan^2x

参考書によると、y=sinx(tanx+C) だそうです

詳しい解説お願いします

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

微分方程式を解くにはある程度経験が必要です。

y'sinx-ycosx=tan^2x (1)

左辺の-が+ならば

y'sinx+ycosx=(ysinx)'

ですがもちろんこれはだめ。

そういう時は

(y/sinx)'を考えます。

(y/sinx)'=(y'sinx-ycosx)/sinx^2

(1)の左辺が見えてきました。つまり

(y'sinx-ycosx)=sinx^2(y/sinx)'

(1)に代入して

(y'sinx-ycosx)=sinx^2(y/sinx)'=tan^2x=sin^2x/cos^2x

従って

(y/sinx)'=1/cos^2x

を解けばよい。積分して

y/sinx=∫(1/cos^2x)dx

右辺の積分も公式として覚えておくと実践的。

(tanx)'=1/cos^2

は実際に微分して始めて納得する。

つまり

y/sinx=∫(1/cos^2x)dx=tanx+c

QED

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
わかりました。

回答No.1

Tacosan

左辺の形を見れば
sin^2 x で割って積分
と読める.