円柱状電荷の電位について

質問

球状電荷や点電荷についての電位Ｖの式はよくみかけるのですが、円柱状の電荷の電位Ｖについて、いろんな書籍を見てみたものの見つかりませんでした。

自分で

Ｖ＝電場Ｅの距離rについての積分

の式で、r>a（a=電荷の半径）とr<aについてやってみたところ、球状電荷については求まるのですが、柱状電荷については∞になってしまい、式が求まりませんでした。

もし分かる方がいらっしゃれば、よろしくおねがいします

回答No.3

eatern27

もしくは、無限遠を基準にするのではなく(無限遠の電位をゼロにするのではなく)、

例えばr=aを基準にすれば(r=aの電位をゼロにすれば)、#2に書いたような事を考えなくても電位が求まりますね。(こっちの方が簡単ですね)

回答No.2

eatern27

あ、
>Ｖ＝電場Ｅの距離rについての積分
と書いてあったんですね^^;　すいません、気付いてませんでした。。。静電場なので、その考え方で問題ありません。

>V＝－∫（下∞上r）ρa^2/2εｒ　ｄｒ（ｒ＞a)
この積分は数学的には発散しているのですが、#1に書いたのと同じやり方で、電位を求める事ができます。

具体的には、
１．下端をＲとして積分を計算する。
２．rに依存しない項(のうち,特にＲ→∞で発散する項)を落とす(無視する).
３．R→∞とする。
という感じです。

回答No.1

eatern27

>柱状電荷については∞になってしまい、式が求まりませんでした。

普通に計算すると発散してしまいますが、ちょっと工夫すれば計算できるようになります。

円柱状電荷の電位を求める際に
r:0→∞,θ:0→2π,z:-∞→∞
の範囲で積分したと思いますが、zについての積分を-L→Lに変えます。

電位というのは、その微分が意味を持つので、(座標によらない)定数の差は無視できます。
つまり、例えば、電位が
φ=φ'＋αln(L)　　(αは定数,φ'はL→∞で収束する)
のようになり、L→∞で発散してしまうとしても、αln(L)の項は定数なので、
φ=φ'
と考えても差し支えありません(つまり、同じ電場を表します)。この上でL→∞とすれば電位が発散することなく求める事ができます。

補足

>r:0→∞,θ:0→2π,z:-∞→∞
との事ですが、僕がやった積分計算を詳しく言うと

V＝－∫（下∞上r）ρa^2/2εｒ　ｄｒ（ｒ＞a)
＝－∫（下a 上r) ρr/2ε　dr ＋Va（r＜a)

Va：ｒ＞aの時の式にr=aを代入したもの

なんですが、根本的にまちがっているのでしょうか？

ちなみに球状電荷についての電位はこの方法で解けました