円柱導体の表面の電位について

質問

たびたび質問してしまいすみません。
問題を解いていて疑問に思ったことがあるので質問させてください。

半径a、長さ無限大の円柱導体に、単位長さ当たりλの電荷を与える。
このとき、導体表面の電位は何か？

これを解く方針としては、
ガウスの定理より、導体の中心からの距離をrとして、a≦rでの電界は、

E=λ/2πεr

これを[∞,a]の範囲で積分する。

V=-λ/2πε∫dr/r
　=K(ln∞/a)　　K=λ/2πε　　ε：真空の誘電率とします。
=∞

となってしまいます。
何か変なんでしょうが、何が変なのかが全くわかりません。
どうやって解けばいいのでしょうか？
ご教示願います。

回答No.2

noname#196225 · ベストアンサー

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
良い着眼点を持ってると思いますよ。
とはいえ、この質問に対して十分納得できる回答は、
私には持ち合わせていません。

これについては、最終的に自分の見解を持って自得するしかないと思います。（数式上ではそうなることが分かっているので、それをどう捉えるかは物理のセンスとなります。）

まずは前半。E=1/rについてですね。一つの見解では、やはり「無限に広がる電荷」という事項がミソになっていると考えることができます。
無限に広がる電荷からN倍の距離離れた場合、寄与する電荷量は三平方の定理からN倍に大きくなります。
（r=(x^2+y~2+d^2)^1/2でdをN倍に増やすと、xとyの変化によってrはあまり変化しないことから言えることです。）
また、ガウスの法則では「無限に広がる場合、対称性から電場の広がる方向が限定され、放射が球面状ではなく円状に行われる」という解釈をしています。
いずれもE=1/rの発散を導くことはできますが、素直に後者の方で解釈するといいでしょう。

問題は、その後です。∫で考えると難しいのでΣで考えましょう。
E=Σ(1/r)は無限に発散します。これは、次のように考えることができます。
E=Σ(1/r)=1+(1/2+1/3+・・・+1/10)+(1/11+1/12+・・・+1/100)
E>1+(1/10+1/10+・・・)+(1/100+1/100+・・・+1/100)=1+9/10+90/100+900/1000+・・・=1+9/10+9/10+9/10+・・・→∞
∫1/r=lonN→∞はこのような解釈をすることができます。
物理的には、これはどこまで離れた距離dからでも、さらに9d遠ざかると一定の位置エネルギー(log9)が獲得できることとして解釈できます。
これは恐ろしいことです。
もし重力が1/rでしか発散しないならば、どこまで行っても一定の間隔でエネルギーを失い続け、いつかは地球に落ちてくることになります。
もし、rの一乗より多く比例していれば、距離dからlog9のエネルギーを失うまでに9*(d^(n-1))倍、つまり無限倍の距離をとらなければならなくなり、裏を返すと脱出可能となります。無限でのポテンシャルが有限になることで、やっと脱出速度という概念が生まれるのです。

このように、ポテンシャル無限は「どんなに大きな運動エネルギーでも脱出できない」もしくは「どこまで離れても加速し続ける」ことを示唆していると考えると良いでしょう。
普通に物理の問題で「だめだこの問題、解が発散する」なんて考えるよりは、よほどセンスが磨かれる良い思考だと思いますよ。

お礼

詳しい回答ありがとうございます！
大変参考になりました。

>もし重力が1/rでしか発散しないならば、どこまで行っても一定の間隔でエネルギーを失い続け、いつかは地球に落ちてくることになります。
もし、rの一乗より多く比例していれば、距離dからlog9のエネルギーを失うまでに9*(d^(n-1))倍、つまり無限倍の距離をとらなければならなくなり、裏を返すと脱出可能となります。無限でのポテンシャルが有限になることで、やっと脱出速度という概念が生まれるのです。

なるほど・・・。ここまで考えが及ばなかったです。
自分でさらに考え、納得のいく答えを見つけたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#196225

円柱導体も平板導体もr→∞基準にすると、有限rでのポテンシャルは∞になると思いますよ。
そもそも、普通の問題は基準電位を明確にするために「AB間の電位を求めよ」みたいな書き方をすると思うのですが。

ちなみにr=0基準ですとr=aの電位は遮蔽効果で0になります。

補足

ご回答ありがとうございます。

>円柱導体も平板導体もr→∞基準にすると、有限rでのポテンシャルは∞になると思いますよ。
>そもそも、普通の問題は基準電位を明確にするために「AB間の電位を求めよ」みたいな書き方をすると思うのですが。

たしかにそうなんですが・・・、しかし導体球の場合は、

球外の電界E=K/r^2　K:定数

なので、積分範囲を導体球の半径をaとして[∞、a]とすると
V=-K∫dr/r^2=K/a
となって有限となります。

なぜこのような違いが生じるのでしょうか？
無限に長い、あるいは無限に広い、のような条件があるからでしょうか？

ちなみにこれは問題集に乗っていたのではなく、ふと疑問に思ったことです。