電荷密度の問題で・・・

質問

半径aの無限に長い円柱の中に、電荷密度が
　　　　　ρ=3Q(a-r)/πa^3
の電荷分布している。この円柱内外の静電場を求めよ。
という問題で、円柱内(a>r)の単位長さあたりの電荷量は、(インティグラルの０→ｒ）2πrdr である。とかいてありました。電荷密度は、単位体積あたりの電荷量なので2πrを掛けて、電荷量を求めているとおもったんですが、この考え方はまちがっているんでしょうか？？また、体積を掛けるのでしたら別にインティグラルを使わなくて、πr^2を掛ければすむのではないのでしょうか？？そこのところがごちゃごちゃしてどーもしっくり来ません。どうか教えてください。お願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

ヒントにならないかも知れないが、ご参考まで。。。
円柱を分断した外半径aの円を考えます。この円で半径ｒ(<a)と半径r+drで囲まれたドーナツの面積をdSとするとdS=π(r+dr)^2-πr^2≒2πrdr（ここで(dr)^2は無視）。これに無限に長い方向(L)の単位長さ1を掛けるとドーナツの体積dVが求まりますね（dV=2πrdr×1）。従ってこの切り取った円柱内の総電荷量を求めると∫[0,a]2πrρ(r)dr×1=Qとなります（ρ(r)=3Q(a-r)/πa^3）。これでQの正体が分かりました。つまり、L方向の単位長さあたりの円柱が持つ総電荷量ということになります。

お礼

ものすごく納得しました。感謝です！！ありがとうございます！！！

回答No.1

foobar

2πrだと周の長さ(単位長あたりの面積）ですよね？
単位長あたりの微小体積にするには厚さdrをかけて、2πrdr　にする必要があるかと。

電荷の分布が均一でない(ρが一定でなくて、rの関数になってる)のですから、
単純に体積をかければ全電荷、というわけには行かないかと思います。