周期的境界条件

質問

本来は物理の範囲なのでしょうが、計算だけ分からないので、数学の分野で質問させていただきます。

f(x)=A exp(ikx)+ B exp(-ikx)
f(x+L)=A exp(ik(x+L))+ B exp(-ik(x+L))

の時のkを求めたいのですが、(iは虚数,kはxによらない変数)

A exp(ikL)+B exp(-ikL) = 0

までは分かるのですがその後の方法が分かりません。
いろいろ探したところ、
exp(ikL)=exp(-ikL)=1　となるので　kL=2πn (nは0以上の整数)

と、ありました。これも意味不明です。解説できる方お願いします。

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#1です。
もし条件が
f(x)=f(x+L) ，AB≠0　及び　k＞0
とすれば
A exp(ikx)+ B exp(-ikx)=A exp(ik(x+L))+ B exp(-ik(x+L))
A exp(ikx){1-exp(ikL)}+B exp(-ikx){1-exp(-ikL)}=0
A exp(i2kx){1-exp(ikL)}+B{1-exp(-ikL)}=0
xによらず成立するための条件は
A{1-exp(ikL)}=B{1-exp(-ikL)}=0
AB≠0から
exp(ikL)=exp(-ikL)}=1
k＞0から
kL=2nπ（ただし，n=正整数)
∴k=2nπ/L　(ただし，n=正整数)

となります。質問の解答の式がでてきますね。

お礼

回答ありがとうございます。

A exp(ikx){1-exp(ikL)}+B exp(-ikx){1-exp(-ikL)}=0
から
A exp(i2kx){1-exp(ikL)}+B{1-exp(-ikL)}=0
を出す方法が分かりません。後はすごく分かりやすかったです。

回答No.4

oyaoya65

#1,#3です。
＞A exp(ikx){1-exp(ikL)}+B exp(-ikx){1-exp(-ikL)}=0
＞から
＞A exp(i2kx){1-exp(ikL)}+B{1-exp(-ikL)}=0
＞を出す方法が分かりません。

exp(ikx) を掛けただけです。

お礼

本当ですね・・・・しょうもない質問してすいませんでした。

回答No.2

noname#147743

>A exp(ikL)+B exp(-ikL) = 0
>f(x)=f(x+L)
であるということから、f(0)=f(L)=0という条件があるものと推測されますので、その上で話します。

A exp(ikL)+B exp(-ikL) = 0
まではわかったのですよね。
ここでＡやＢが０ならば、ｋに関わらず式を満たしてしまいますので、
それを除外して考えると（A≠0,B≠0）、関係式がでますよね。
その関係式で、位相（ＥＸＰの肩の部分）がいつの時満たされるかを考えれば、kL=2πn の意味がわかると思います。
ＥＸＰは三角関数で書き表せますよね。単位円なんかを思い浮かべて考えてみてください。

補足

>単位円なんかを思い浮かべて考えてみてください。

おかげでexp(ikL)=exp(-ikL)=1から出せる意味が分かりました。

>それを除外して考えると（A≠0,B≠0）、関係式がでますよね。

それがexp(ikL)=exp(-ikL)=1なんでしょうか？
これがいまいち分かりません。A≠0,B≠0という条件だけから

Aexp(ikL)-Bexp(-ikL)=0　（A≠0,B≠0）

をどうすればいいのか分かりません。

回答No.1

oyaoya65

＞f(x)=A exp(ikx)+ B exp(-ikx)
これは単なるxの関数の式であって、方程式ではありませんから、この式だけからkを求めることは出来ません。

＞f(x+L)=A exp(ik(x+L))+ B exp(-ik(x+L))
この式はf(x)でx⇒x+Lとおいた式でkを求めることとは関係のない式で、方程式でもありません。

何か、kを求めるための条件を忘れていませんか？
f(0)=0やf'(0)=? といった条件を忘れていませんか？
こういった条件があれば方程式が出来て定数等を求めたりすることが可能になります。

＞A exp(ikL)+B exp(-ikL) = 0
＞exp(ikL)=exp(-ikL)=1
このような式がでてくる根拠の条件が質問に与えられていません。書き忘れていませんか？

質問に書かれていない条件を使ってのkを求める質問では回答のしようがありません。

補足

題名にある、周期的境界条件というものは、閉じた状態での事なのでf(x)=f(x+L)という事を前提に話をしていました。質問文内に書くべきでしたね。すいません。