高校数学の計算（指数）

質問

f{(1+exp(-πi(K+L))+exp(-πi(H+L))+exp(-πi(H+K))}=0
f:定数
π：円周率
H,K,L：いづれも整数
i：虚数
expX=e^X
上の式を満たすH,K,Lの条件はH,K,Lが偶数奇数混合の場合ということらしいのですが、なぜそうなるのか分かりません。
分かる方お願いします＞＜

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

まず・・・・虚数乗が出てくる点で、この問題はそれ自体は高校数学の問題ではありません。（最初の部分さえクリアできればあとは確かに高校数学ですが）
さて、オイラーの定理から、exp(-iπ(K+L))=cos(K+L)π-isin(K+L)π
ところが、Nが整数の時、sinNπ=0、cosNπ=1(Nが偶数)またはcosNπ=-1(Nが奇数)このことから、
K+L,H+L,H+Kのうち、２つが奇数で1つが偶数の時この式が成り立つ事がわかります。（fは無関係)
従って、K,L,Hすべてが奇数、という場合はあり得ません（奇数＋奇数=偶数だから）で、どれでも同じだからKは偶数と仮定します。
で、このときLも偶数だとするとK+Lが偶数になるのでL+H,K+Hはいずれも奇数でなければならず、Hは、奇数です。このときは偶数2個、奇数1個。
一方Lが奇数の時、K+Lが奇数ですから、L+H,K+Hのいずれかが奇数でいずれかが偶数。これはKが偶数、Lが奇数の時Ｈが偶数でも奇数でも満たされる条件です。問題の式はK,L,Hの対称式ですから、以上よりこの3数は奇数2個、偶数1個または奇数2個偶数2個の場合が与式を満たし、かつこれしかないことがいえます。これをまとめていえば、「H,K,Lが偶数奇数混合の場合」になりますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
オイラーの公式を大学で習ったのをすっかり忘れてました；

回答No.2

take008

No1 さんの回答の改良です。
> K+L,H+L,H+Kのうち、２つが奇数で1つが偶数の時この式が成り立つ
和が奇数のペアがあることから，すぐに奇偶混合と言っていいでしょう。

お礼

簡潔に分かりやすい回答をありがとうございます。