数学、境界条件

質問

今回は、量子力学の問題を解いていたところ、境界条件を適応して定数を決めるところで、つまづいたのでみてもらいたいです。

k^2>0,s^2>0,L>0とする。Aexp(ikL/2)+Bexp(-ikL/2)=Cexp(isL/2)+Dexp(-isL/2)と

-Aik　exp(ikL/2)+Bik exp(-ikL/2)=-Cis exp(isL/2)+Dis exp(-isL/2)より、定数A,B,C,Dを考えるのです

が、私は、A=B=C=D=０になると思っていますが、今回は規格化できなかったので、定数は具体的決ま

らないはずです。どなたか、正していただけないでしょうか。ご教授の程、よろしくお願いします。

補足：おそらく、A,B,C,Dの関係式が出ると思います。もし、k=sなら簡単ですが・・・
　　　E>0で　k^2=2mE/h^2　 　E>-V0でs^2=2m(V0+E)/^2 (V0>0)です。

回答No.3

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

等式の中でそもそも波数が変化しているのがおかしいです。

波動関数のエネルギー(波数)は境界の左右で変化させません。波動方程式はΨが固有ベクトル、エネルギーがハミルトニアンに対する固有値と見ることができます。

質問文の式は、エネルギーの異なる波数の波動を等式で結んでいるため、おかしなことになっています。

等式の左右は同じ波数で揃えるべきです。(例えば、右から来た波動が境界でポテンシャルを乗り越えるという解釈ではなく、ある波数の波動の存在確率がどうなるか、と考えるのです。)
なので、どちらも波数kで考えます。たしか参考になるのが、クローニッヒペニーモデルとかトンネル効果辺りだったと思います。通常、ポテンシャルが小さいところに原子核が存在し、エネルギーを引き下げています。原子核が作る電場がエネルギーを決定し、モデルは距離の2乗で変化するエネルギーを箱形に近似しているにすぎません。電子は原子殻の作るエネルギーの壁に「束縛」されるため、外部から電圧等のエネルギーを印可しない限り、個別の電子のエネルギーは遷移しません。

トンネル効果が説明されている資料がネットに落ちているので、探してみてください。

(今後、このように物理的意味を考慮しなければならない質問は物理学のカテゴリでしてください。)

お礼

なるほど、実は、この問題はかなり簡単な問題で、確率密度の流れが左右で変わることは、ありえないですね。でも、自分は難しく考えすぎていました。とりあえず、s=kとすれば、解決しますね。ありがとうございます。

補足

すみません。理解したと思ったのですが、　k^2=2mE/h^2　 　E>-V0でs^2=2m(V0+E)/^2 (V0>0)という風に、ｋとｓの値が違うのですが、これはどう解釈すればよいですか？
たびたび、申し訳ありません。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

えーと、確認なんですが、電子の波動関数の連続性を考えたいのでしょうか？

補足

はい、そうです。接続条件を書いて、確率密度の流れが左右でどうなるか考えます。
規格化条件は考えなくて良いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

多分、大元の問題書いてくれないとイメージしにくいです。

補足

すみません。問題を掲載します。
量子力学の問題です。
V=-V0 (x>-L/2)
V=0 (x<-L/2) という一次元階段型ポテンシャルを考える。

このとき、接続点（x=-L/2)の左右での、確率密度の流れを検討せよという問題です。

左右で、確率密度の流れは、同じだと私は考えていますが、それを計算で確認しています。