単振動の運動方程式の解（複素数表示？）

質問

中学の者ですが、なんとか独学でここまで理解しています。
答えの載っていない参考書を持っていて、
それを読みながら勉強しているのですが、
ある問で、
微分方程式m(d^2x/dt^2)＝-kt
の解は
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt)　　　（ただしω＝√(k/m) ）
の形で表わされることを示せ
というのがありました。
微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に
x＝C*sin(ωt+D)　　　（CとDは定数）
としました。
ここからどうやって示すべき式に持っていくのでしょうか。
見当がつきません。
それから、速度をあらわす式vを時間tで表わし、
t=0のときx=a、t=0のときv=0という条件で、A,Bを
aとωを用いて表せというのもありました。
これは与えられた
x=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt)　
をそのままtで微分していいということなのでしょうか。
機械的にやってみたのですが、AもBもa/2という結果になり、
ωは出てきませんでした。

いま一つ問題が何を読者に気付いてほしいのかわからないことと、
最初に書きました表示の部分が分かりません。
どなたか詳しく教えていただけませんか。お願いします。

回答No.6

noname#101199 · ベストアンサー

とりあえずよくつかわれる解法です。
与えられた式は
m(d^2x/dt^2)+kx=0・・・（１）
です。
ここで、x=exp(λt)…(※)とおいて(1)に代入すると
mλ^2+k=0・・・（２）
の関係が得られる。
これの根はλ+=＋j√(k/m)=jω、λ-=-j√(k/m)=-jωです。(ω＝√(k/m)とおきました）

これらから得られる解(λ+,λ-を(※)に代入）を線形結合して、
x=A*exp(jωt)+B*exp(-jωt)
です。
（No.4さんのリンク先の、２階の場合 を参考にしてください）

質問者さんのような解法でいくなら、
x＝C*sin(ωt+D)
=C*sinωt*cosD+C*cosωt*sinD
=Asinωt+Bcosωｔ(C*cosDも、C*sinDも定数なので、A,Bに置き換えました）
これにNo.3さんリンクのオイラーの公式を当てはめてみてください。

速度はおっしゃるとおりの解法で兵器です。xを時間微分して、初期条件を代入すれば、係数が決まります。

問題の意味というのは難しいですが・・・　質問の微分方程式は、単振動の微分方程式（調和振動）と呼ばれています。物理において基本的な微分方程式の１つであるため、これを解けるようにしておくことはとっても意味があります。（ニュートンの運動方程式はxの二階微分方程式ですよね!!）
(d^2x/dt^2)＝-(k/m)x
という式は、
「自分自身を二階微分すれば、係数が-(k/m)が出てくるけど、自分自身は変わらない」という風に見えるので、確かにsin,cos やexp(j～),exp(-j～)
って感じがしませんか？

２問目は、初期条件によって、係数が定まることを教えたいのかと思います。（係数が定まるということは、ある初期条件のもとでの物体の運動(x)が一意に表現できる ということ。）

お礼

いつもいつもご丁寧に、本当に感謝しております。
確かに落ちついて計算したらそうなりました。
闇雲に質問していたかもしれません。
ご迷惑をおかけしました。

大変よく理解することができました。
ありがとうございました。

回答No.5

owata-www

二問目は質問者の方の解答で合っています

お礼

複数回回答してくださってありがとうございました。
もう少しきちんと自分で考えるようにしたいと思います。

回答No.4

owata-www

そもそもですが、２階の微分方程式の解法は
x = e(λt)
を代入して求めます

http://ufcpp.net/study/analysis/diffsecond.html

回答No.3

owata-www

オイラーの公式というものがあります

まあ、以下はこれを元に考えてみてください
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F

補足

回答ありがとうございます。
sinやcosがiで表わされるのは初めて知りました。
ところで、最初に回答してくださった方が書かれた
x = C*sin(ωt+D) + E*cos(ωt+F)
の形から始めても、
これに{exp(iωt)+exp(-iωt)}/2などを代入してみても
目標にたどり着きそうにないのですが、
どこに誤りがあるのでしょうか。
度々すみません。

回答No.2

foobar

「解はx=A*exp(iωt)+B*exp(-iωt)　　　（ただしω＝√(k/m) ）の形で表わされることを示せ」
x=..の式を元の微分方程式に代入して、微分方程式を満たすことを示す、という手を使うことが多いように思います。
（厳密には、全ての解がこの形になることを示す必要があるのでしょうが。）

「t=0のときx=a、t=0のときv=0」
v=dx/dtを計算して、xとvについてt=0の値をA,Bを含んだ式で表して、これがaと0になるようにA,Bを決定すればよさそうに思います。

お礼

回答ありがとうございました。
なるほど、考えてみます。

二問目のほうは確かにそう考えました。
書きましたようにωは消えてしまうのですが、
これで大丈夫なんでしょうか。

回答No.1

noname#101087

>微分方程式m(d^2x/dt^2)＝-kt

これは、
　m(d^2x/dt^2)＝-kx　　…(1)
なのじゃありませんか？

>微分方程式の解き方は分かっていたので、素直に x＝C*sin(ωt+D)　（CとDは定数） としました。

この解きかたは OK です。
一般には、
　x = C*sin(ωt+D) + E*sin(ωt+F)
これから、
　d^2x/dt^2 = -(ω^2)*x
が得られるので、
　ω^2 = k/m

補足

回答ありがとうございました。
はい、tではなくxでした。ありがとうございます。