- 締切済み
グリーン関数について質問です
『微分演算子 L=ｘの２階偏微分＋ｙの２階偏微分 に対するグリーン関数G(x,ｙ)の主要解（境界のない領域に対する解）を求めなさい。 （ヒント：LG(ｘ,ｙ)=δ(ｘ)δ(ｙ)を解け）』 という問題を解こうとしてるのですが、途中から積分が分かりません。 G(ｘ,ｙ)=∫dk∫dl・g(k,l)exp{ikx}exp{ily} とすると（積分範囲は－∞→∞）、 g(k,l)=1/(2π)^2・{L(ik,il)}^-1 より g(k,l)=1/(2π)^2・{(ik)^2＋(il)^2}^-1 =-1/(2π)^2・1/(k^2＋l^2) というところまではなんとか分かってます。 この先どのようにして積分を解いていけばいいのか教えてください。
- kazuakinta
- お礼率0% (0/4)
- 物理学
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- connykelly
- ベストアンサー率53% (102/190)
参考URLには比較的詳細な解き方が載っていますのでご参照されれば。 http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Green_1.pdf
関連するQ&A
- フーリエ計算の問題が難しすぎてわかりません
F（ｋ）＝∫[-∞、+∞] exp(ｉk0x)/｛3 - exp(aｘ) ｝} exp(-ikx) dx k0、ａは実定数 なんですが、、、 3 - exp(aｘ) を y と置くと、 ｘ＝Log（３－y ） / a＝Log｛ （３－y）^(1/a) } exp(ｉk0x)＝exp{ ｉk0{（３－y）^(1/a)} } exp(-ik’x)=exp{ -ｉk’{（３－y）^(1/a)} } dy/dx ＝ -ａ exp(aｘ)＝ -ａ exp｛ａ{（３－y）^(1/a)} } ∴ F（ｋ）＝∫[-∞、+∞] exp{ ｉk0{（３－y）^(1/a)} }exp{ -ｉk’{（３－y）^(1/a)} }（-ａ exp｛ａ{（３－y）^(1/a)} }） / y ｄｙ ＝-ａ∫[-∞、+∞] exp（ ｛ ｉk0-ｉk’＋ａ｝{（３－y）^(1/a)} ） / y ｄｙ ＝-ａ∫[-∞、+∞] exp（ (｛ ｉk0-ｉk’＋ａ｝^a {（３－y） )^(1/a)} ） / y ｄｙ ＝-ａ∫[-∞、+∞] exp（ (｛ ｉk0-ｉk’＋ａ｝^a {（３－y） ) )/a)} ） / y ｄｙ ここから、わかりません。 どなたか アドバイス頂けませんでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の問題です
(1+x)y" + xy' - y = 0 (ここでy'、y"はそれぞれyのxでの一階微分、二階微分) ---------------------------------------- 方程式を満たす解の一つがy1=xであることから、もう一つの解y2を y2=u(x)*y1 と置いて与式に代入して、 u'(x)=v(x) と置くことで v(x)= (1+x) / ( x^(2) * exp(x) ) と 求めることができましたが、これの積分ができません。。。 ここまでの計算が合っている自信も無いので、どなたか解き方および解を教えてください…どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 周期的境界条件
本来は物理の範囲なのでしょうが、計算だけ分からないので、数学の分野で質問させていただきます。 f(x)=A exp(ikx)+ B exp(-ikx) f(x+L)=A exp(ik(x+L))+ B exp(-ik(x+L)) の時のkを求めたいのですが、(iは虚数,kはxによらない変数) A exp(ikL)+B exp(-ikL) = 0 までは分かるのですがその後の方法が分かりません。 いろいろ探したところ、 exp(ikL)=exp(-ikL)=1 となるので kL=2πn (nは0以上の整数) と、ありました。これも意味不明です。解説できる方お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数関数について初歩的なことを教えて下さい。
こんにちは、 指数関数のExp^x は、不思議なものです。 このExp^xは、微分しても積分してもそのままですが、 質問１． このように微分または積分してもそのままなのは、 Exp^x以外にあるのでしょうか？ 質問２． ある関数f(ｘ) （たとえば、Exp^x等 ほかでも OK）に、ある関数g(x) を 作用させた場合、Exp^x のようにそのまま変わらないような関数g(x)はある のでしょうか？ g(f(x))=f(x) 質問３． なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなの でしょうか？その意味（？）は、どのように解釈す ればよいのでしょうか？ また、Exp^xを微分しても積分してもそのままである ような日常的な例はないでしょうか？ 昔からあった素朴な疑問です。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 留数定理について質問です。
留数定理について質問です。 次のような問題が出題されました。 「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。 (d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」 解答の詳細は省略しますが G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2) の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。) これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します。極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと Res(κ)=exp[iκ(x-ξ)]/(2κ)より x-ξ>0のときG=i{exp[iκ(x-ξ)]}/(2κ) とあります。ここまではいいのですがx-ξ<0の場合、 「同様に、G=i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ) (x-ξ<0)」 となっています。自分の計算ではG=-i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ)となるのですが、何故合わないのか分かりません。留数の公式に当てはめるとexpの肩と全体の符号が極の選び方で逆になるように思うのですが、解答では全体の符号が変化していないように思います。 x-ξ<0の場合の計算の詳細を教えていただけないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２階線形微分方程式の特性解が重解のときを極限で解釈
定数を係数とする２階線形微分方程式の同次形は、 y’’＋ay’＋b＝0 で、 λ^2+aλ+b=0 において、 実数解を二つ持つとき、解をλ1、λ2とすると、 微分方程式の解は、y=C1exp(λ1x)+C2exp(λ2x) と表される。 実数解を一つ持つとき、解をλとすると、 微分方程式の解は、y=(c1+c2x)exp(λx) と表される。 特性方程式が解を二つ持つとき、その解λ1、λ2において、 λ1がλ2に限りなく近づいた極限が、解を一つ持つときと考えられると思います。 そのような極限の考え方で、 y=C1exp(λ1x)+C2exp(λ2x) が y=(c1+c2x)exp(λx) に近づくという解釈をしたいのですが、いいアイデアがありましたら教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分因子について
知恵袋でも質問したのですが、回答がこなかったのでこちらで質問します。 答えられる範囲でいいんで回答お願いします。 微分方程式の積分因子による解放について （x + (x^2 + y^2)x^3)dx + ydy = 0という微分方程式の積分因子を用いた解法について教えてください。 積分因子については、exp((1/2)x^4)ともとまったのですが、その後の計算がよくわかりません。 積分因子をかけることによって、完全微分方程式となって解がはじめて得られるようになると思うので、 積分因子をかけました。 exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)dx+exp((1/2)x^4)ydy となったのですが、ここから分かりません。 詳しく回答教えていただけるとありがたいです。 それから、完全微分方程式という用語についてなのですが、この完全ってどういう意味なんでしょうか？ 完全というのは、解が得られるという意味なのでしょうか？ 最初の式ってのは、解が得られないのでしょうか？ ですが、積分因子を用いることによって解が得られるのでしょうか？ よく完全微分方程式は、du=pdx+qdyみたいな形で示されますが、よくこの式の意味するところがわかりません。 u(x,y)という二つの変数をもった関数があったとする。 その関数をxについて偏微分したものが、pを表しているのでしょうか？ pはdu(x,y)/dxというのが省略されてpとかいているだけなのでしょうか？ 多変数関数、偏微分についてもくわしく勉強したことがなく、いきなり微分方程式を独学で勉強しているので、謝った考えた方をしている可能性もあり、きちんと理解しておきたいので、よろしくお願いします。 できれば詳しく解説してくださるとありがたいです
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル関数のフーリエ変換
ベクトル関数V(x)のフーリエ変換もスカラー関数と同じように V(k)=\int d^3x V(x) exp[-ik・x] で定義できるでしょうか。 その場合、やはりV(k)の第一成分はV(x)の第一成分に対応しているのですよね？ V_x(k)=\int dx V_x(x) exp[-ik・x] V_y(k)=\int dx V_y(x) exp[-ik・x] V_z(k)=\int dx V_z(x) exp[-ik・x] のような感じで・・・・ 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分方程式のラプラス変換による解法
皆様よろしくお願いいたします。 関数u(x,t)のtに関する偏微分∂u/∂t＝u_t、とxに関する2回偏微分∂^2 u/∂x^2=u_xxとおくとき 偏微分方程式 u_t = a*u_xx (aは正の定数） 初期条件：u(x,0) = 0 境界条件:∂u/∂x = u_x = -k （kは正の定数） lim[x→∞]u(x,0) = 0 をラプラス変換して解を求めようとしてますが、ラプラス変換した式が導けません。 偏微分方程式の解は分かっていているので、解をラプラス変換すると答えは次式になるようです。 U(s,x) = k√a・exp( -x*√(s/a) ) / s^(3/2) どのように導けばこうなるのかご教示ください。 ちなみに偏微分方程式の解は次式になります。（上式に入れて成り立つことを確認済み） u(x,t)＝2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at)) （※erfcはガウスの余誤差関数です） 【途中までやってみた計算経過】 偏微分方程式を→s、x→yへそれぞれラプラス変換して整理すると U(s,y)＝ak/{y(y^2-s/a)} となりました。これをy→xへラプラス逆変換すると U(s,x) = -ka^2/s + ( ka^2/(2s) ) exp(-x√(s/a) ) + ( ka^2/(2s) )exp(x√(s/a) ) となり、答えになりません。 しかもこれだと3項目が境界条件lim[x→∞]u(x,0) = 0に従わず∞に発散してしまいます。
- 締切済み
- 数学・算数
補足
回答ありがとうございます。 参考URLだけでは私にはちょっと理解できません。 具体的な解き方を御教授願います。