指数関数について初歩的なことを教えて下さい。

質問

こんにちは、

指数関数のExp^x　は、不思議なものです。

このExp^xは、微分しても積分してもそのままですが、

質問１．
　　　このように微分または積分してもそのままなのは、　　　Exp^x以外にあるのでしょうか？

質問２．
　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでも　　　　OK）に、ある関数g(x) を 作用させた場合、Exp^x　　　のようにそのまま変わらないような関数g(x)はある
　　　のでしょうか？

　　　　g(f(x))=f(x)

質問３．
　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなの　　　でしょうか？その意味（？）は、どのように解釈す　　　ればよいのでしょうか？
　　　また、Exp^xを微分しても積分してもそのままである　　　ような日常的な例はないでしょうか？

昔からあった素朴な疑問です。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
e＾x　は無限級数を表記しているんですね。
つまり、
e＾x=1+x/1!+x＾2/2!+x＾3/3!+x＾4/4!+x＾5/5!
+・・・+x＾n/n!+x＾n+1/(n+1)!+・・・・
これを微分すると、
{e＾x}'=1/1!+2x/2!+3x＾2/3!+4x＾3/4!+5x＾4/5!
+・・・nx＾n-1/n!+(n+1)x＾n/(n+1)!+・・・・
=e＾x
繰り返しても、
{e＾x}"=e＾x
つまり、何回繰り返しても無限級数だから同じ形式になるんですね。

お礼

お返事ありがとうございます。

なるほど、数式のしくみ的には、理解できました。

e＾x=1+x/1!+x＾2/2!+x＾3/3!+x＾4/4!+x＾5/5!
+・・・+x＾n/n!+x＾n+1/(n+1)!+・・・・

の式は、見て知っておりましたが、これを微分して

も同じになることは、気づきませんでした。

今後とも、よろしくお願いいたします。

回答No.3

keyguy

質問１の回答：
「ｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）となる関数はｅ＾ｘだけか。」

ｆ（ｘ）をｆ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）を満たす関数とする。
（ｅ＾（－ｘ）・ｆ（ｘ））’＝
ｅ＾（－ｘ）・ｆ’（ｘ）－ｅ＾（－ｘ）・ｆ（ｘ）＝０
よって
ｅ＾（－ｘ）・ｆ（ｘ）＝定数
よって
ｆ（ｘ）＝定数・ｅ＾ｘ
である。
逆に
ｆ（ｘ）＝定数・ｅ＾ｘ
とすると
（ｆ（ｘ））’＝定数・ｅ＾ｘ＝ｆ（ｘ）
すなわち
ｅ＾ｘだけでなく定数・ｅ＾ｘもである。

お礼

お返事ありがとうございます。

ｅ＾ｘだけでなく定数・ｅ＾ｘもである。

ご指摘感謝致します。厳密には、その通りでござい

ました。

大雑把な性格なもので、失礼致しました。

今後とも、よろしくお願いいたします。

回答No.2

tokomath

こんばんわ
＞質問１
確かにe^xは微分してもそのままですね。
しかし積分しても同じと言うわけではありません。
積分すると任意定数が含まれますので
∫e^xdx＝e^x＋Ｃ（Ｃは任意定数）
となります。
微分に関しては
dy/dx＝yを満たすようなyを計算すればいいです
この微分方程式を解けば分かるように
y=Ae^x（Aは任意定数）となり
この形の解しか求まりません。
積分に関しては
f(x)の二つの不定積分をF(x)、G(x)とすると
F'(x)＝f(x)　　G'(x)＝f(x)　　（’は微分とする）
となるので
｛G(x)-F(x)｝'＝G'(x)-F'(x)＝f(x)-f(x)＝0
より、導関数が0である関数は定数であるから
G(x)-F(x)＝Ｃ（Ｃは任意定数）
よって
G(x)＝F(x)＋Ｃ
つまり積分の結果が複数あるとしても
それは任意定数を足しただけで前の部分は同じなんですね。

＞質問２
良く意味がわかりませんが
e^(e^x)＝e^x
という事でしょうか？
この等式は成り立っていません。

＞質問３
何故そのままなのか・・・
私も良く分かりませんが答えるとしたら
関数のある点における傾きがその関数の導関数にその点を代入した値と同じである。・・・って言う関数を探して見たら、その関数は2.7182…………
のx乗でありました。
そこでその数をeとおいてe^xとしました。
ですよね。
だから何故そのままなのか？じゃなくてそうなるものをe^xと言います。って回答じゃ駄目でしょうか？

補足

お返事ありがとうございます。

なるほど、そう考えればよい訳ですね。

私たちの身の回りで、何回微分しても、値が変化しない

現象は、ないでしょうか？例えば、重力加速度は、１回

微分したら、速度が得られますが、その値は、重力加速度

と異なりますし、、、、何か、ないでしょうか？

>関数のある点における傾きがその関数の導関数にその点を>代入した値と同じである。・・・って言う関数を探して見>たら、その関数は2.7182…………
>のx乗でありました。
>そこでその数をeとおいてe^xとしました。
>ですよね。
>だから何故そのままなのか？じゃなくてそうなるものを>e^xと言います。