指数関数がいくら強いとはいえ、、、不思議じゃない？

質問

指数関数がいくら強いとはいえ

lim[x→∞]x^9999999999999999999999999/e^x＝０

になっちゃうのは不思議ではないですか？

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

まず結論は書いてあるとおりで、Nがいかに大きな定数(整数としておきます)であっても、
lim x^N/e^x=lim N!/e^x=0.
です。これはまさに、指数関数の「恐ろしさ」を示す例ですね。
なお、x^N/e^x=10^(-N)
となるｘの値を求めると次のようになりました。
N=1 ー> x=4.43367
N=4 ー> x=32.06
N=10 ー> x=72.245
N=100 ー> x=983.56
N=1000 ー> x=12367.25
・・・・、
※つまり五本目の式は、12367^(1000)/e^(12367)≒10^(-1000)
という意味です。

お礼

お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。！

回答No.4

f272

指数関数は強いのです。
xの冪で言えば無限大乗であって，xの9999999999999999999999999乗よりも指数部分が大きいのだから当然ですね。

回答No.3

muturajcp

x>0に対して(e^xの定義から)

e^x=Σ_{n=0～∞}x^n/n!>x^(10^25)/(10^25)!

↓だから両辺に(10^25)!/(xe^x)をかけると

(10^25)!/x>x^(10^25-1)/e^x…(1)

任意のε>0に対して
K>(10^25)!/ε…(2)
となるKが存在する
x>K…(3)
となる任意のxに対して

x>0だから
x^(10^25-1)/e^x>0　だから

|x^(10^25-1)/e^x|=x^(10^25-1)/e^x

↓(1)から
↓x^(10^25-1)/e^x<(10^25)!/x　だから

|x^(10^25-1)/e^x|<(10^25)!/x

↓(3)から
↓K<x
↓↓両辺をxkで割ると
↓1/x<1/K
↓↓両辺に(10^25)!をかけると
↓(10^25)!/x<(10^25)!/K　だから

|x^(10^25-1)/e^x|<(10^25)!/K

↓(2)から
↓(10^25)!/ε<K
↓↓両辺に(ε/K)をかけると
↓(10^25)!/K<εだから

|x^(10^25-1)/e^x|<ε

↓極限の定義から

lim[x→∞]x^(10^25-1)/e^x=0

↓9999999999999999999999999=10^25-1だから
∴
lim[x→∞]x^9999999999999999999999999/e^x=0

回答No.1

notnot

不思議ではないです。
e^x には、x^9999999999999999999999999 より高いべき乗の項があるので。