|a・b|＝Re(a・b) について （内積）

質問

複素空間での内積で
|a・b|＝Re(a・b)
という式が成り立つのはどうしてですか？
内積は、実数ではなく複素数として現れるのでしょうか？
また、そうだとしても、この式がどうやって導き出されるのかがわかりません。考え方等をご教授願います。

回答No.13

atomicmolecule · ベストアンサー

以下にもう一度式変形を書きますから落ち着いてよんでください。

　2√(a,a)√(b,b)-(a,b)-(b,a)
=2√(a,a)√(b,b)-2Re(a,b)
≧2√(a,a)√(b,b)-2|(a,b)|..............（A)

１番目の変形は(a,b)=Σ_{i}a(i)^*b(i)が内積の定義なので(a,b)+(b,a)=2Re(a,b)を使いました。
二番目の変形はRe(a,b)よりも大きな数|(a,b)|を引けば全体はもっと小さくなるために不等号になりました。つまり|(a,b)|≧Re(a,b)を使いました。

等号である必要ありません。不等号で結構。

さらにA式にシュワルツの不等式|(a,b)|≦|a||b|を使って|(a,b)|をそれよりも大きな数に置き換えます。よって全体はもっと小さくなります

(A) ≧2√(a,a)√(b,b)-2|a||b|

最後に|a|=√(a,a)と|b|=√(b,b)を使えば右辺はゼロです。よって（A)≧０が証明できました。

引き算する数を大きなものに置き換えると、全体は小さくなるということに注意してください。不等号でOKです。

お礼

何度も何度も本当に有難うございます。本が、間違っているんでしょうね。いろいろな本を当たってみたいと思います！

回答No.14

adinat

一言余計ですが、我慢できないので言います。「私、勉強不足ですね」と書かれてますが、そうではなく、人の話をちゃんと読んでいないのです。もっとみなさんの回答を真剣に読むべきです。理解しようとするべきです。即、お礼や補足にコメントされることは、放置なんかと比べて明らかに礼節に適った行動とは思いますが、ろくに読みもせず、見当はずれな補足ばかりじゃないかと思います。

|a・b|＝Re(a・b)はどうやら正しくないようですが、ではなく、正しくないことをご自身でちゃんと確認されるべきだ、ということなのです。そしてそれを納得してください。そして何度も|a・b|≧Re(a・b)を使えば三角不等式の証明が出来る、と言っていますが、そのこともきちんと理解されたのですか？そして、|a・b|≧Re(a・b)を証明なしで使ってもいいのですね、と念を押されてますが、証明したらいいじゃないですか。そしてその証明はすでに私が一番最初の回答で書いてあるのですよ！！（怒）

|a・b|≧Re(a・b)は内積だから成り立つのではなく、すべての複素数について成り立つ自明な不等式です。任意の！複素数zに対して、その絶対値|z|はその実部Re(z)より小さくはならないのです。特に|z|≧|Re(z)|も成り立ちます。それは|z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2という定義からすぐにわかりますよね？三平方の定理です。zの代わりに複素数a・bについて言い直せば、そのまま知りたい結果|a・b|≧Re(a・b)がでます。

お礼

怒らせてしまってごめんなさい。回答ありがとうございました。

回答No.12

atomicmolecule

頑張ってますね。少し落ち着いて書き込みを読み返したほうが良いとおもいますよ。混乱しているようなので簡潔にまとめます。

（１）||a＋b||≦||a||＋||b||を示すのには

|(a,b)|≧Re(a,b)があれば十分です。

（２）そして|(a,b)|=Re(a,b)は一般には成立しません。本に書いてあろうがなかろうが自分で確認して自分の結果を信じてください。

（２）が一般に成立しないというのには反例を一つあげればよいでしょう、
a=(1,i), b=(1,1)

|(a,b)|=|a1^* b1+a2^*b2|=|1-i|=√２
Re(a,b)=1

√2>1 だから|(a,b)| > Re(a,b)ですよね。

あくまで|(a,b)|=Re(a,b)が成り立つと主張するなら内積の定義などを詳しく与えてもう一度質問しなおしたらどうでしょうか。このままやってもらちがあきません。私はadinatさんと同意見でこの等式は一般には成立しないと思います。

因みに本にだって印刷の段階で間違いが入ります。例えば、本来間違いがあってはならない数学公式集などでも初版には間違いが多くあるものです。だからこそ多くの人に何十年も使われた公式集が信頼度が高く評価されます。新たな数学公式集をつくるのは容易ではない原因の一つは間違い探しが大変だからということにもあるそうです。

お礼

アドバイスありがとうございます。|(a,b)|≧Re(a,b)は、既知のものとして（証明なしで）使って良いんです　よ　ね・・？

回答No.11

adinat

シュワルツの不等式｜a・b｜≦||a||||b||と
|a・b|≧Re(a・b)を併せれば
||a||||b||-Re(a・b)≧0ではありませんか？？

したがって三角不等式には、|a・b|≧Re(a・b)がいえれば十分なのです。
そして逆向きの不等号は成り立ちません。しつこいですが。

お礼

回答ありがとうございました。

補足

>|a・b|≧Re(a・b)を併せれば

その式は何でしょうか？|a・b|≧Re(a・b)ではなく|a・b|＝Re(a・b)が問題になっているんですけど。申し訳ありません。こちらこそしつこいですが。私、勉強不足ですね。本当にすみません。

回答No.10

adinat

ちょっとムキになってますので、やや言葉遣いが悪くなりますが、ご容赦を。とにかく上記の等式が成立しないというのは間違いないと僕は思います。そういう意味では質問は締め切って、再度別途質問をするのがマナーだと思うのです。小言はこれでやめておきますが．．．

｜a・b｜≦||a||||b||を使って||a＋b||≦||a||＋||b||を導きます。
ただし||a||:=√(a・a)とおきます。
自分自身との内積が非負実数になることは既知とします。
(||a||＋||b||)^2-(||a＋b||)^2
=(a・a)+2||a||||b||+(b・b)-(a+b)・(a+b)
=(a・a)+2||a||||b||+(b・b)-(a・a)-(a・b)-(b・a)-(b・b)
=2(||a||||b||-{(a・b)+(b・a)}/2)
です。ここで(a・b)+(b・a)=2Re(a・b)より、
=2(||a||||b||-Re(a・b))≧0
です。したがって||・||は非負であることから三角不等式が従います。

お礼

回答ありがとうございます。不躾ですみません。
その最後のところの2(||a||||b||-Re(a・b))あたりで、問題の等式を使わざるを得ないと思うんですが・・・
度々の回答ありがとうございます。

回答No.9

atomicmolecule

A=||a+b||=√(a+b,a+b)=√[(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b)]
B=||a||+||b||=√(a,a)+√(b,b)

二乗して引き算してください
B^2-A^2

= (a,a)+(b,b)+2√(a,a)√(b,b)
-[(a,a)+(a,b)+(b,a)+(b,b)]

=2√(a,a)√(b,b)-(a,b)-(b,a)

≧2√(a,a)√(b,b)-|(a,b)|-|(b,a)|

ここで|(a,b)|≧Re(a,b)を使いました。これが勘違いのところでしょう。最後の式はさらに

≧2√(a,a)√(b,b)-2√(a,a)√(b,b)＝0

終わり

お礼

回答ありがとうございます？複素空間での内積で|a・b|＝Re(a・b)という式が成り立つのはどうしてかはわかりませんよね・・・？

回答No.8

oyaoya65

A#7の訂正です。
＞質問の式の書き方は以下のように書いてあれば成立します。
＞Re(a b)= |a・b| (内積はユニタリ内積の定義を採用)
↑これは常には成立しないですね。

Re(a b)= (a・b) (内積はユニタリ内積の定義を採用)
↑これなら成立します。

＞Re(a b)=a1b1-a2b2
＞一方
＞|a・b| = a1b1-a2b2 (ユニタリ内積です)
(a・b) = |a1b1-a2b2| (ユニタリ内積を採用)

＞となって等式の左辺と右辺が同じになります。
これは↓の式です。
Re(a b) = (a・b)　 (ユニタリ内積を採用)

Re(a b) = |a・b|　は左辺と右辺とも負でない場合に限って成立するだけです。

お礼

回答ありがとうございます。ゆにたり内積？？とかなんだか難しい言葉ですけど、この証明にはそんな言葉でてこないんです。すみません、頭がこんがらがってきました。

回答No.7

oyaoya65

A#5の補足の回答です。

＞Re(a・b)＝1/2{(a・b)＋((a・b)のバー)}
↑この式のドットは内積でなく単なる複素数の掛け算です。（ドットを書くと内積と間違える恐れがあります。）
a b = (a1b1-a2b2)+i(a1b2+a2b1)
(a b)~ = (a1b1-a2b2) - i(a1b2+a2b1)
ですから
Re(a b) = (a1b1-a2b2)
(1/2){a b + (a b)~}=(1/2){2 Re(a b)} = Re(a b)
で成り立ちますね。

本来の質問の式に戻ると
内積のドットと単なる複素数の積を使い分けて書いてない質問の式であったため、A#1～A#5でドット「・」を内積を表すドットと解釈した場合は正しい説明となり、質問の式は当然成り立ちません。

単なる複素数aとbの掛け算と内積を使い分けて質問の式が書いてあれば回答のような質問の式が成り立たないという結果とならなかったと思います。

質問の式の書き方は以下のように書いてあれば成立します。

Re(a b)= |a・b| (内積はユニタリ内積の定義を採用)

（前半にドットがないことに注意）

a=a1+ia2, b=b1+ib2と置けば

a b =(a1+ia2)(b1+ib2)=(a1b1-a2b2)+i(a1b2+a2b1)

Re(a b)=a1b1-a2b2

一方
|a・b| = a1b1-a2b2 (ユニタリ内積です)

となって等式の左辺と右辺が同じになります。

複素ベクトルの内積（スカラ量）、外積(2次元の場合はスカラ量)と
複素数の掛け算
を区別しないと混乱の元ですね。
単なるドット「・」ですが、掛け算の意味と内積の意味の使い分けをしないといけないですね。

お礼

何度も回答ありがとうございます。

補足

＞Re(a・b)＝1/2{(a・b)＋((a・b)のバー)}
↑この式のドットは内積でなく単なる複素数の掛け算です
→いいえ、違います。
この質問でのドットは全て内積です。内積であることを強調するためにわざわざドットを用いました。

回答No.6

adinat

♯2です。どうも議論が噛み合っていないので、基本的なことからお話します。その前に、tuort_sig様もきちんと「複素空間」の定義を与えてください。これだけの用語ではどうとでも取れて、議論になりません。

一般に加法とスカラー倍が定義でき、いくつかの公理を満たす集合をベクトル空間といいます。スカラーとは、そのベクトル空間に作用する「体」の元です。体ならば何でもよいので、実数体Rや、複素数体Cの他にも有限体F_pや、有理数体Qなどを係数体(スカラー)とするベクトル空間を考えることができます。係数体をRとする場合を「実ベクトル空間」、係数体をCとする場合を「複素ベクトル空間」と呼ぶことにします。内積とは、通常、そのベクトル空間の二元に対して、その係数体の元を対応させる、双線型(あるいは準線型)二次形式のことを指します。したがって、実ベクトル空間においては、内積は実数値となりますし、複素ベクトル空間においては内積は複素数値になります。

実は複素数CはR^2と同一視することが出来ます。その意味で、n次元複素ベクトル空間を2n次元実ベクトル空間と思うことができます。しかし、これらは実ベクトル空間(係数体をRと思ったとき)としては同型ではありますが、必ずしも同じものと思ってよいわけではありません。実ベクトル空間には、基本的に複素構造が入っていないからです。（ただし上でも述べたとおり、2n次元ならn次元の複素構造を入れることはできます）いずれにしても、複素ベクトル空間と思って、そこに内積を入れるならば、それは普通はユニタリー内積と呼ばれる複素数に値を取る、準線型二次形式によって計量を入れるのだということです。その下で、tuort_sig様がおっしゃられたようにRe(a・b)＝1/2{(a・b)＋((a・b)のバー)}などの公式が成立することが示されます。これはユニタリー内積を持つ、複素ベクトル空間においては正しい主張です、ご安心ください。#5様は、おそらく複素ベクトル空間もすべてC=R^2の同型を用いて実ベクトル空間とみなして内積を入れているとお考えなのだと思います。もちろんその意味で内積を導入するのであれば、それは実数値になります。

ただ再三皆様もおっしゃられているとおり、|a・b|＝Re(a・b)この主張は一般には決して成り立ちません。a,bに何らかの条件があるか、あるいは、定義が一般的なものと異なるか、その書物が勘違いをしているのかのいずれかとしか思えません。例えばaの代わりに-aとしてみてください。左辺は値を変えませんが、右辺はマイナス倍されます。それが等しいわけだから、常に|a・b|=Re(a・b)=0でなければなりません。これはa・b=0が常に成り立つということと同じですから、すべての内積を0とした計量を入れない限り、ありえません。しかしながら、そのようなつまらない内積空間を考えているともとても思えませんので。

お礼

回答誠にありがとうございます。

補足

う～む。質問の仕方が悪かったみたいです。シュワルツの不等式から三角不等式を導いてください。成り立たないという|a・b|＝Re(a・b)を使わずに。結局私が知りたいのはシュワルツの不等式から三角不等式を導く過程で、|a・b|＝Re(a・b)が出てくるまでは順調に理解していました。問題の式|a・b|＝Re(a・b)が成り立たないとバッシングを受けますと、ではどのようにして導いたらよろしいのでしょうか？誰か、この悩みを氷解させていただけませんでしょうか？

回答No.5

oyaoya65

＞どうしてもわからないのですが、Re(a・b)という表記は内積(a・b)の実部ということですよね？

そうですよ。内積そのものが実数となります。
実数の実部をとっても同じ実数です。

＞ということは、内積が複素(ガウス)平面上にある点で表されていて、その点の実(ｘ)軸の値ということですよね？

そうですよ。内積は大きさを表すスカラー量で、それを無理やり複素数といえば、実部だけがあって、その虚部はない（ゼロ）です。

＞ｃ＋ｄi(iは虚数単位)とした場合のｃに当たる部分なんで。なぜ、内積の大きさ（つまり｜a・b｜）が、内積の実部の大きさになるのかサッパリです。

内積はスカラー量（つまり実数）ですので無理やり複素数表現で強いて書けば
c+id となりますが、d = 0です。

＞普通に考えて、√(ｃ^2+ｄ^2)が、大きさでは？？いったい正射影か何かですか？

内積の定義から 内積はスカラー量（つまり大きさのみで実数、虚数部はなし。）d=0ですので
√(ｃ^2+ｄ^2)=|c|
ということですね。
正射影という表現は複素ベクトル(c+id)についていう言葉で、スカラー量の内積についていう表現ではないですね。あえて言えば　d=0　ですので、結果としてベクトルc(実部のみ)は正射影のcと同じになります。

繰り返しますが。
2次元のガウス平面では
a・b=c+idとおくと　c=a1b1+a2b2 , d =0
ということです。
すなわち、
|a・b|=√(c^2+d^2)=|c|=|a1b1+a2b2|←負にはならない。
Re(a・b)=c=a1b1+a2b2　←負の実数にもなりうる。

|a1b1+a2b2|　と　a1b1+a2b2　は常に等しいとはいえないということです。

内積（大きさを表すスカラー量）の定義をよく確認してください。実ベクトル空間（ガウス平面）でも複素ベクトル空間（ヒルベルト空間）でも内積の定義が異なりますが、内積が大きさだけのスカラー量であることは同じです。つまり内積は実数だと言うことです。

以下のURLをよくご覧になってガウス平面や複素ベクトル空間の内積の定義を勉強しなおしてみてください。
ユニタリ内積を含めて、内積は実数になり、虚部のある複素数ではありませんよ。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/naiseki.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%83%E3%83%88%E7%A9%8D
http://imai48.hp.infoseek.co.jp/japanese/kekan/no016.html
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/05unitr/050unt.html

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/in_pro/in_pro.htm

お礼

回答ありがとうございます。
＞そうですよ。内積は大きさを表すスカラー量で、それを無理やり複素数といえば、実部だけがあって、その虚部はない（ゼロ）です。

しかし、Re(a・b)＝1/2{(a・b)＋((a・b)のバー)}とも出てきます。この式は複素平面上に書いたら理解できました。ということは、この式の右辺に出てきている内積は、まさに複素数とその共役ですよね？これは一体・・・

回答No.4

atomicmolecule

混乱しているようですが、この問題の答えをずばりというのは難しいと思います。なぜならこの式が成立するのは一般的でないからです。やってみれば分かりますが、例えば
a=(1,1)
b=(1,i)
a.b = a1*b1+a2*b2 = 1+i

よって|a.b|=√２、 Re(a.b)=1で等式は成立しません。
aやbが実数なら成立するかと言うとそうでもなく
a=(1,-1)
b=(1,2)
a.b=1-2=-1　よって　|a.b|≠Re(a.b)

よってこれ以上議論して進まないと思います。この式が整理するには何かの条件が必要ですから問題を補足しない限り解決に行き着くのは難しいでしょう。

できれば、どういった問題の途中経過の式かとか情報をもっと与える必要があります。

お礼

アドバイスありがとうございます。
質問が簡潔すぎたかな・・・（反省）

補足

あくまでも、複素空間での話しとします。シュワルツの不等式を使って三角不等式を導く過程で、最後のほうに現れます。
｜a・b｜≦||a||||b||を使って||a＋b||≦||a||＋||b||を導く過程でです。