a＞0、b＞0⇔a＋b＞0、ab＞0

質問

a＞0、b＞0⇔a＋b＞0、ab＞0
⇒は不等式の基本性質から導けるのですが、←はどうやって示すのでしょうか？(実数の場合)
a、bは実数であるので強引にもとの命題の仮定の全通りから結論を導いて、
仮定はすべての場合を尽くして、結論がどの２つも同時には成立しないことを言って、逆も真である。
とすればいいのでしょうか？
(1)まず、この論理は合っているでしょうか？
(2)他の方法はありますか？
よろしくお願いします。

回答No.8

kkkk2222 · ベストアンサー

＃７です。

＞＞対偶法による解法
＜Ａ≦０またはＢ≦０⇒Ａ＋Ｂ≦０またはＡＢ≦０＞

Ａ≦０またはＢ≦０
即
Ａ≦０かつＢ≧０　または
Ａ≦０かつＢ≦０　または
Ａ≧０かつＢ≦０　
即
ＡＢ≦０　　　または
Ａ＋Ｂ≦０　　または
ＡＢ≦０
これで終了、
論理的欠陥はありません。
貴殿が論理的欠陥があると感じる理由は、
（１）第一段階から第二段階に移る理由が不明。
（２）第二段階が重複している。
いずれも、論理的には問題はありません。
これを説明していると、きりがありません。
またこの点は基本性質とは無関係です。
直接法も同様な手順になります。
通常はこのような手順は避けます。

＞＞不等式の基本性質の4つ(それから導かれる他のもの)は
等号つきの大なり小なりでも成り立つのでしょうか？

等号の基本性質４つを加味すれば当然成立します。

これ以上は貴殿の状況を明記し疑問点を詳説した新スッレドを立てて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。
完璧にわかりました、
とても感謝しています、ありがとうございました。

回答No.9

R_Earl

遅くなりましたが#2です。

> 一応a＝0、b=0を確認しなくては(自明ですけど)、
> 仮定はすべての場合を尽くしたとは言い切れず、
> 論理に欠陥があるのではないでしょうか？

そうですね。
a=0またはb=0の場合を示しておかないと全ての実数をカバーできません。

> また、この論理の中で、今示そうとしている命題の逆は真であることから、この命題を示そうとしているわけなので、
> ここで質問者さんのように(3)をもう一度提示する必要はあるのでしょうか？

必要はないかもしれませんが、提示しておいた方が読み手が分かりやすいと思うので、
私は念のため、結論の少し前ぐらいに提示しておきます。
提示するというよりも、『0 < a,0 < bならば0 < abでしたよね？』
という風に、読み手に再確認させるような意味の文を入れるだけですが。

お礼

回答ありがとうございました。
とても参考になりました、ありがとうございました。

回答No.7

kkkk2222

＃６です。
＜a＞0、b＞0⇔a＋b＞0、ab＞0＞
この証明をどこまで厳密にやるのか。
＊試験問題
＊教科書の練習問題
＊論理学としての問題
＊個人的に様々な解法を試みる
貴殿が要求する状況に依存します。全ての状況を想定しての回答は無理です。状況は貴殿が一番良く判っているので、それなりに解釈してください。
＞＞等号の場合も含めるのか。
これも、状況に依存します。
＞＞論理的には問題ないか。
当然ながら論理的に欠陥があります。
＞＞転換法で証明しなくて・・・
証明法の命名は本質ではありません。この問題をどの証明法で、といているのかは判然としません。直接法にも背理法にも見えます。されど、それはどうでも良い事です。
＞＞対偶法
当然ながら、やろうと思えばで出来ます。面倒なだけです。ＰＯＳＳＩＢＬＥとＰＲＯＢＡＢＬＥは異なります。
＞＞論理的に微妙か・・・
微妙さは皆無です。微妙と感じるか感じないかは個人差があります。

回答にはなっていませんが貴殿の状況が明確でないため、これ以上は無理です。

補足

回答ありがとうございました。
とてもよくわかりました、ありがとうございます。
また、何度もすいませんが、あと1回(多分、、)補足させてください。

まず、

＞＞論理的に微妙か・・・
微妙さは皆無です。微妙と感じるか感じないかは個人差があります。

ここでの、微妙とは、論理的に欠陥があるかどうかが微妙ということです。

＞＞対偶法
Ａ≦０またはＢ≦０⇒Ａ＋Ｂ≦０またはＡＢ≦０を示す。

A≦0⇔(A＜0orA＝0)、B≦0⇔(B＜0orB＝0)
なので、
(1)A≦0andB≦0⇔(A＜0orA＝0)and(B＜0orB＝0)
(2)A≦0andB＞0⇔(A＜0orA＝0)andB＞0
(3)(2)のA,B逆バージョン
から、やろうと思えば基本性質からできませんか？

は論理的欠陥があるのかどうかを教えていただけないでしょうか？
もし間違えているとしたら、どのような方法でしょうか？
(面倒だと仰っているので、道筋だけでもいいので、おねがいします)

最後に一つ、
不等式の基本性質の4つ(それから導かれる他のもの)は
等号つきの大なり小なりでも成り立つのでしょうか？
A≦0⇔(A＜0orA＝0)(まず、これはあっているのでしょうか？事実として)からいけると思うのですが、、
よろしくお願いします。

回答No.6

kkkk2222

＞＞(1)まず、この論理は合っているでしょうか。
合っています。背理法（転換法）と言えます。

逆の証明　Ａ＋Ｂ＞０、ＡＢ＞０　⇒　Ａ＞０、Ｂ＞０
貴殿の方法（どこまで想定しているかはわかりませが多分＃１～＃４）。
Ａ＝０のとき、ＡＢ＞０に反する。
Ｂ＝０のとき、ＡＢ＞０に反する。
＃１　Ａ＞０、Ｂ＞０のとき　　ＯＫ
＃２　Ａ＞０、Ｂ＜０のとき　　ＡＢ＞０に反する。
＃３　Ａ＜０、Ｂ＞０のとき　　ＡＢ＞０に反する。
＃４　Ａ＜０、Ｂ＜０のとき　　Ａ＋Ｂ＞０に反する。
よって　Ａ＞０、Ｂ＞０
ただし、ここまで要求されないはずです。
ーーー
ＡＢ＞０　より
　　　　　Ａ＞Ｏ　かつ　＞０　　ＯＫ
または　Ｂ＜０　かつ　＜０　　Ａ＋Ｂ＞０に反する。
よって　Ａ＞Ｏ　かつ　＞０　
此の程度でよいかと
ーーー
＞＞(2)他の方法はありますか。
対偶法
Ａ≦０またはＢ≦０⇒Ａ＋Ｂ≦０またはＡＢ≦０を示す。
これは難解。
領域図を使うなら可能ですが、
基本証明では使用不可のはずです。

直説法
これも
基本証明では不可のはずです。
ーーー
結論としては、貴殿の方法しかないかと思います。
あまり参考にはなりませんが、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%BC%E6%98%8E

補足

回答ありがとうございました。
とてもすっきりしました、ありがとうございました。
No2の補足に書いた証明は正しいということですね、
また、
＞ＡＢ＞０　より
　　　　　Ａ＞Ｏ　かつ　＞０　　ＯＫ
または　Ｂ＜０　かつ　＜０　　Ａ＋Ｂ＞０に反する。
よって　Ａ＞Ｏ　かつ　＞０　
此の程度でよいかと

No3の補足
a＋b＞0、ab＞0⇒(a＞0orb＞0)and《(a＞0andb＞0)or(a＜0andb＜0)》
⇒a＞0、b＞0
ということでしょうか？
補足に書いてあるように、論理的には問題ないと考えてよろしいのでしょうか？
いちいち、転換法で証明しなくてもいいのでしょうか？
何度も申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

＞対偶、直接
そうですねか、、どちらもできなそうなので断念しました、、
また、ひとつ聞きたいことが、、
＞対偶法
Ａ≦０またはＢ≦０⇒Ａ＋Ｂ≦０またはＡＢ≦０を示す。

A≦0⇔(A＜0orA＝0)、B≦0⇔(B＜0orB＝0)
なので、
(1)A≦0andB≦0⇔(A＜0orA＝0)and(B＜0orB＝0)
(2)A≦0andB＞0⇔(A＜0orA＝0)andB＞0
(3)(2)のA,B逆バージョン
から、やろうと思えば基本性質からできませんか？
(これは論理的に微妙かと思い、断念しました
よろしくお願いします。

回答No.5

noname#101087

>a＋b＞0、ab＞0⇔(a＞0orb＞0)and《(a＞0andb＞0)or(a＜0andb＜0)》⇒a＞0、b＞0
>ということでしょうか？

おそらく、
　{a*b>0} ⇒ {a>0 かつ b>0} または {a<0 かつ b<0}
　{a+b>0} ⇒ {a>0} または {b>0}
だから、
　{a*b>0} かつ {a+b>0} ⇒ {a>0 かつ b>0}
ということなのでしょうね。

お礼

回答ありがとうございました。
＞おそらく、
　{a*b>0} ⇒ {a>0 かつ b>0} または {a<0 かつ b<0}
　{a+b>0} ⇒ {a>0} または {b>0}

そうですね、いちいち⇔の←を示す必要は無いということですね、
ありがとうございました。

回答No.4

Segenswind

（（ａ＋ｂ＞０）∧（ａｂ＞０）⇒（（ａ＞０）∧（ｂ＞０））
の対偶をとって、
（(ａ≦０)∨(ｂ≦０)）⇒（（ａ＋ｂ≦０）∨（ａｂ≦０）
を証明するというのは？

回答No.3

kumiyaaan

ａ＋ｂ＞０ということは、どちらかはかならず正の数字になりますよね？もし、もう一方が負の数字の場合を考えてみると、ａ×ｂをすると０より小さくなってしまいます。ということはａとｂはどちらも正でないと、成り立たないんです。
また、ａ×ｂが０以上になるためには、どちらも＋か、どちらも－である必要があります。＋の場合はそのまま成り立ちます。－の場合、ａ＋ｂ＞０という式が成り立たないので、ａとｂどちらも＋ということになります。

補足

回答ありがとうございました。
a＋b＞0、ab＞0⇒a＞0、b＞0(a,bは実数)

a＋b＞0、ab＞0⇔(a＞0orb＞0)and《(a＞0andb＞0)or(a＜0andb＜0)》
⇒a＞0、b＞0
ということでしょうか？
私もこのように感覚的な方法ではできますが、
論理的に欠陥があるんではないかと思って、この方法は断念したのですが、
そうでもなさそうですね、上記のように書くと欠陥はなさそうですね、
あれば教えてください(汗

回答No.2

R_Earl

> a、bは実数であるので強引にもとの命題の仮定の全通りから結論を導いて、
> 仮定はすべての場合を尽くして、結論がどの２つも同時には成立しないことを言って、逆も真である。
> とすればいいのでしょうか？

難しくて意味がよく分からないのですが、

(1) 、aが負の数の場合にa + b > 0、ab > 0が同時に成り立たないことを示す。
(2) 、bが負の数の場合にa + b > 0、ab > 0が同時に成り立たないことを示す。
(3) 、a,bが共に正の数の場合にa + b > 0、ab > 0が同時に成り立つことを示す。

これができればa + b > 0、ab > 0が同時に成り立つのは
a,bが共に正の数の時だけということになりませんか？

補足

回答ありがとうございました。
私が言いたいことはそういうことです。
a＋b＞0、ab＞0⇒a＞0、b＞0(ただし、a＞0、b＞0⇒a＋b＞0、ab＞0は真とする)
a,bは実数であるので、
(1)a＞0、b＜0⇒～～
(2)a＜0、b＞0⇒～～
(3)a＜0、b＜0⇒～～
(4)a=0orb=0⇒～～
となり、いずれも仮定a＋b＞0、ab＞0に反する、
(仮定はすべての場合を尽くして、そのどの２つも同時に成立しないので)
ゆえに、命題a＋b＞0、ab＞0⇒a＞0、b＞0は真。
ということです。

a,bが実数であるので、
一応a＝0、b=0を確認しなくては(自明ですけど)、
仮定はすべての場合を尽くしたとは言い切れず、
論理に欠陥があるのではないでしょうか？
また、この論理の中で、今示そうとしている命題の逆は真であることから、この命題を示そうとしているわけなので、
ここで質問者さんのように(3)をもう一度提示する必要はあるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

fronteye

ab>0 から　a>0,b>0 または　a<0,b<0 しかないんだから、簡単じゃないの？

補足

回答ありがとうございました、
申し訳ないのですが、No3さんと似たないようだったので、
No3さんの補足の欄に補足をしました、
お手数ですが、そちらを見てください。