数学教えてください

質問

a,bは実数とする。「ab<0→a>0かつb,0」この命題の裏の真偽を問え。

ab>=0→a<=0またはb>=0　となります。　集合の時はかつやまたはは背反か背反じゃないか、判断できたんですが、論理に入ってから困惑しています。　a<=0またはb>=0の意味はaがa<=0であるかb>=0であり、
　　　　a,bのどちらか一方の条件を満たしていればいい。
　　　　また、a<=0かつb>=0でもいい。という意味ですか？？

またこの裏が真であることの証明をしていただきです。

よろしくお願いします。

回答No.3

Caper · ベストアンサー

● (a<=0) または (b>=0)

　 上記の「 命題 」(※) が真となるのは、次の 3つ の場合であると、私は思います。

　 1) (a<=0) が真であり、(b>=0) が偽である。
　 2) (a<=0) が偽であり、(b>=0) が真である。
　 3) (a<=0) が真であり、(b>=0) が真である。

● 元の「 命題 」を hohoho0507 さん は誤記なさいましたよね。元の「 命題 」は、次のとおりではないでしょうか。

　 (ab<0) → ((a>0) かつ (b<0))

　 そして、この「 命題 」の裏が次のとおりになるというわけですよね。

　 (ab>=0) → ((a<=0) または (b>=0))

　 さらに、この裏が真であることの証明を hohoho0507 さん はお求めになっているわけですよね。

　 裏の証明に、背理法を用いてはいかがでしょうか。つまり、「 (ab>=0) が真であって ((a<=0) または (b>=0)) の否定が真である 」ときに、矛盾が生ずることを示してはいかがでしょうか。
　「 (ab>=0) が真であって ((a<=0) または (b>=0)) の否定が真である 」ということは、「 (ab>=0) が真であって ((a>0) かつ (b<0)) が真である 」ということと同じになると、私は思います。((a>0) かつ (b<0)) が真であるときに、(ab>=0) が真になることはありません。ですから、矛盾が生じます。

● (※)「 命題 」と言うよりも、「 a と b を変数とする命題関数 」「 a と b を変数とする条件 」などと言ったほうが正確であるのかもしれません。

● これまでもっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

回答No.4

gohtraw

ある命題と、その対偶の真偽は一致します。裏の待遇は逆ですから、一番初めの命題「ab<0→a>0かつb<0」の逆が真であることが示せればいいのではないでしょうか？

回答No.2

gohtraw

集合で考えて問題ありません。ベン図を書いてそれぞれの領域にａ，ｂ，ａｂの正負を記入すれば考えやすいと思いますよ。

回答No.1

gohtraw

「または」というのは、どちらか一方のみでも両方でもＯＫです。