二次関数

質問

不等式x^2-4x+3≦0を満たすすべてのxに対して、不等式x＜3-ax-2x^2が成り立つとき、定数aの値の範囲を求めよ。

x^2-4x+3≦0より、xの範囲は1≦x≦3

x＜3-ax-2x^2
これをf(x)=3-ax-2x^2-xとxの二次関数とおいたとき、
f(x)=2(x+(a+1/4))^2-(a^2+2a-47/16)…x軸は-(a+1/4)

(1)3＜-a+1/4…11＞a
x=3で最小値-3-18
-3-18≧0
これが(1)を満たすのでa≦6…(1)’

(2)1≦-a+1/4≦3…-11≦a≦-3
x=-a+1/4のとき最小値-(a^2+2a-47/16)
-(a^2+2a-47/16)≧0
これが(2)を満たすので-4√3≦a≦-3…(2)’

(3)-a+1/4＜1…a＞-3
x=1のとき最小値-a
-a≧0
これが(3)を満たすので-3＜a≦0…(3)’

この三つで場合わけをして考えたら、答えはa≦6となりました。
でも答えはa＜6になっています。
どこかで計算ミスしているんでしょうか？
それともやり方が間違っているんでしょうか？
長々とすみません。
回答お願いします。

回答No.2

debut · ベストアンサー

不等式 x＜3-ax-2x^2 から 2x^2+(a+1)x-3＜0
f(x)=2x^2+(a+1)x-3 として、f(x)が1≦x≦3のすべてのxについてf(x)＜０
となればよいので、f(x)は下に凸の放物線だから、1≦x≦3の範囲でf(x)
がx軸よりも下にあることが条件になります。
つまり、f(1)＜0かつ、f(3)＜0 が条件です。
　f(1)＜0より、a＜0・・・（ア）
　f(3)＜0より、a＜-6・・・（イ）
（ア）（イ）の重なったところが解で、a＜-6　？？？
あれ？答えはa＜6ですか？

　例えばa=4を入れてみると、x＜3-4x-2x^2で、これを解くと
　2x^2+5x-3＜0
　(2x-1)(x+3)＜0
　-3＜x＜1/2　で、1≦x≦3が含まれませんけど・・・

お礼

やり方自体間違っていたんですね。
あ、答え０＜-6です。
すみません。
ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

x＜3-ax-2x^2 が、等号を含まない不等号になっているから、解答も等号を含まない不等号であらわされなければなりません。

（等号を含む方 x^2-4x+3≦0 は最初に「xの範囲は1≦x≦3」と求めたら用済みです。）

お礼

イコールがつくのかつかないのかが、頭の中でちゃんと整理できてなかったんです。
ありがとうございました。
問題の答え道理に答えを出すことができました。