関数の問題を教えてください！

質問

2|x-5|-|x-a|+3=0がただ一つの解を持つとき、定数aの値を求めよ。 a=2,8

二次関数f(x)＝2x^2-4ax+a+1の0≦x≦4において常にf(x)>0が成り立つような
　aの範囲を求めよ。 -1<a<1

この二つの問題の解き方がわかりません。答えは問題の横に書いてあります。
解き方を教えてください。お願いします！

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。まず式だけながめていても、イメージがわきませんから、
グラフを使って考えてみたらいいでしょう。

（１）最初の問題は

y=2|x-5|+3
y=|x-a|
の二つのグラフの交点が、ただ一つだけある、ということになります。
x-5≧0 のときと
x-5＜0　のときに場合わけして、グラフを描いてみてください。
ちょうど点（5,3)をとおり、Ｖ字型のグラフができあがります。
これと、直線y=|x-a|　が、ただ一点で交わるためには、
その交点は、点（5,3)にならなければならない。
よってx=5,y=3を代入して、
5=±（3-a)
これを解いて、a=2,8 と求められます。

（２）二番目の問題も、グラフをかかないと求められません。

まず、式変形します。
f(x)=2x^2-4ax+a+1
=2(x^2-2a)+a+1
=2(x-a)^2-2a^2+a+1
これは、y=f(x)のグラフが、
頂点（a,-2a^2+a+1),下に凸の放物線であることを示しています。
そこで、0≦x≦4　におけるグラフ上の最小値のＹ座標が
0より大きければいいのですから、
a＜0,　0≦a＜4,　4≦a
と場合わけして、最小値が常に０より大きくなるように
条件を求めて見ましょう。
例えば、a＜0　のときは、最小値はf(0)=a+1
これが正になるのは、a+1＞0　を解いてa＞-1
同様にして、すべて求めれば、-1＜a＜1　が成り立つ。

どちらも、ポイントはグラフをかいてみることです。
イメージがわけば、簡単です。頑張ってください！！

補足

ありがとうございます！
２の問題なのですが・・・

4<a の時のminが、-15a+33になるのですが、これは、a<33/15になりますよ
ね？これって１をこえてしまうんで、-1<a<1にならないんですけど・・・
どうすればよろしいのでしょう？

回答No.4

oshiete_goo

(第2問の別解)
二次関数f(x)＝2x^2-4ax+a+1の0≦x≦4において常にf(x)>0が成り立つような aの範囲を求めよ.

f(x)＝2x^2-4ax+a+1>0
2x^2+1 ＞ 4ax-a=4a(x-1/4)
より,
g(x)＝2x^2+1 (0≦x≦4)
と置くと, 題意より
曲線 y=g(x)・・・(1) の 0≦x≦4 の部分に対し, その下方にある定点(1/4,0) を通って傾き4aの直線 y=4a(x-1/4) ・・・(2)が必ず(y座標の意味で)下側を通過する(つまり2つのグラフが共有点を持たない)aの条件を求めれば良い. [グラフで考えて下さい.]

すると, (2)が点(0,1)を通るとき傾き 4a=-4 ⇔ a=-1 でそれより少なくとも大きな傾きの場合である.

また, (2)が点(4,33)を通るときは 15a=33 より a=33/15 となるが,
(1)と(2)が第1象限で接する場合(傾き4a>0)を調べると f(x)＝2x^2-4ax+a+1=0 の判別式D=0 より
a=1,-1/2 で a>0の条件より, a=1 となる． このとき, 接点のx座標は(f(x)の頂点のx座標より)x=a=1 より, 0≦x≦4 も満たす. (範囲内に接点がある.)
すると傾き4aはグラフより, この場合よりも小さくないといけなくて, 1≦a≦33/15 の場合は共有点が出てしまうことが分かる.

したがって, グラフより, 2つのグラフが0≦x≦4 の範囲で共有点を持たないのは -1＜a＜1 の場合である.

回答No.3

fushigichan

またまた、こんにちは。

a≧4　のときですが、
最小値はf(4)=33-15a　です。これが正になるには、
33-15＞0　ですから、a＜33/15　となりこれは不適です。
したがって、-1＜a＜1 と、なりますよね！！

こういった最大値、最小値がからむ問題は、グラフで考えるのが
最大のポイントです。最初は時間がかなりかかりますが、
何度も解いていると、コツがつかめてきますよ。頑張って！！

回答No.2

0shiete

＞
4<a の時のminが、-15a+33になるのですが、これは、a<33/15になりますよ
ね？これって１をこえてしまうんで、-1<a<1にならないんですけど・・・
どうすればよろしいのでしょう？

4<aかつa<33/15というaは考えられないですよね。だからこの場合はナシです。うっかりミスですね。

補足

いえ・・・そういう事じゃないんです。
その答え方からいくと全部なしになってしまいます。
問題を見て解いてもらえれとうれしいんですが・・・。