二次関数の問題について

質問

現在高1です。数学が苦手で、勉強している途中で分からない問題が出てきました。休日なので先生に質問する事も出来ません。
どうかこの問題の解き方を教えてください。

関数 f(x)=ax^2-2ax+1 の値が -1≦x≦2 の範囲で常に正であるとき、定数aの値の範囲を求めよ。

グラフを書いてみたりしたのですが、全く訳が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

>グラフを書いてみたりした

本当にグラフが書けましたか？このままではグラフは書きようがありませんよ。
数学が苦手で勉強中だとのことなので少し練習してみましょう。

>関数 f(x)=ax^2-2ax+1 の値が -1≦x≦2 の範囲で常に正である

二次曲線はx^2の係数が正か負かでグラフが全く逆になりますね。
少し場合わけして見ましょう。

1)aが負のとき
グラフは左下から上がってきて右下に消えて行きます。
指定された範囲でf(x)が正であるようなグラフを書こうとすると
x=-1より小さいところでグラフがx軸と交わって、x=2より右で再度
交わっているはずです。それ以外に指定された範囲が正になる場合が考えられません。
このことから　f(-1)>0　 かつ　　f(2)>0であることが分かります。
(実際グラフを書いて確認してみてください。)

2)aが正であるとき
グラフは左上から降りてきて右上に消えて行きます。
これで指定された範囲が正であるには更に3パターン
考えられます。
2)-1　　2次曲線の軸が-1より小さくて-1では既に正になってそのまま右上に
消えていくから指定された範囲は正である。(軸<-1、f(-1)>0）
2)-2　　2次曲線が絶えず正。つまり、x軸と一度も交わらずに右上に消えていく。
当然、指定された範囲でもf(x)は正である。　これは判別式を計算すると負である。
(軸の場所に関係なくいつでもD<0)
2)-3　　2次曲線が左上から降りてきて、x=2より大きいところでx軸と交わり、f(x)が
負になってやがて正になって右上に消えていく。(軸>2、f(2)>0）

これらは2次曲線の軸がどこにあるかで変わってきます。
今、
f(x)=ax^2-2ax+1=a(x-1)^2-a+1
軸はx=1であることが分かるのでパターンとしては2)-2となります。
後は計算してみてください。なお、問題に2次曲線と明記していないなら
a=0のときもf(x)=1となり、正ですから題意には合います。a=0も範囲に入れてください。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

グラフというのは、高校の先生に
「問題が分からなくなったら、とりあえずグラフがどんな向きになっているのか、頂点の位置、などを簡単に図にしてみなさい」
と言われたので書いてみた図のことです。
すみません、説明不足で。
図には上に凸のグラフと下に凸のグラフ、直線のグラフを書いてみました。

紙にグラフを書いて確かめながら解いていきましたが…あまり理解できません。ごめんなさい、バカで。
定数aの値の範囲を求めよ、と問題にはあるのですが
場合分けした後にどのように答えたらいいのか分かりません。
a<0の時 f(-1)>0 かつ f(2)>0
a=0の時 f(x)=1
a>0の時 f(x)>0
の後に何か計算しなければならないのでしょうか。

答えは -1/3<a<1 となっています。
（これは質問の時に書いておくべきでした。すみません）
どこから分数がでてくるのか…もうさっぱりです。

回答No.4

nettiw

>> f(x)=a(x^2)-2ax+1＞0 (-1≦x≦2)

(1) a=0
　　　　　f(x)=1＞0 a=0　はok 。(1)’

(2) a＜0
　　　　　　　f(-1)＞0
　　　　　　a+2a+1＞0
　　　　　　　　3a+1＞0
　　　　　　　　　　a＞(-1/3)

　　　　　　　　(-1/3)＜a＜0　。　　(2)’

(3)0＜a

　　　　　f(x)=a(x^2)-2ax+1
　　　　　　　=a｛(x^2)-2x}+1
　　　　　　　=a[｛(x-1)^2}-1]+1
　　　　　　　=a｛(x-1)^2}+(-a+1)

　　　　　頂点(1,-a+1)

　　　　　　-a+1＞0
　　　　　　　　1＞a

　　　　　　　　　0＜a＜1　　。　　(3)’

(1)’(2)’(3)’より、

　　　　　(-1/3)＜a＜1

お礼

回答ありがとうございます。
皆さんの解説を組み合わせながら解いてみた所、やっと理解できました！
朝からこんな質問に付き合ってくださった事に感謝します。
本当にありがとうございました。

回答No.3

BookerL

#1 です。

＞　a>0 の時、例えば a=2 だった場合 1-a>0 に当てはめると -1>0 となってしまいます。
＞　これはどのように考えれば良いのでしょうか？

　a=2 だった場合、1-a>0 には「当ては」まりませんよ。 1-a>0 ということは、a<1 ですね。
　先の回答の (1) ではあえて 1-a>0 のままにしておきましたが、a の範囲としては a<1 のことです。　

　なお、グラフについては、頂点（軸）が x=1 であることと合わせて #2の方の回答をしっかり読んでみてください。#1 のわたしの回答ではしょったところがしっかり書いてあります。

お礼

ああ、そういうことなんですね！
もうこの問題について二時間ほど考えていますが未だによく分かりません…難しいですね。
もう少し粘って考えてみます。
丁寧に解説ありがとうございました。

回答No.1

BookerL

f(x) を変形して、頂点の位置がわかるようにしてみましょう。

　f(x)=a(x-1)^2 + 1 - a

　となり、頂点は (1,1-a) です。x=1 は f(x) が正である範囲に含まれるので、 まず　1-a>0 ……(1)　となる必要があります。

　次に、(1) を満たす a のうち、a>0 はＯＫ ですから、a<=0 を考えます。
　a=0 ……(2)　は f(x)>0 を満たします。
　a<0　では、f(x)の最小値は x=-1 の時ですから　a<0　かつ　f(-1)>0　の範囲　……(3)　を求めます。

　以上、(1)(2)(3) をあわせたものが求める範囲だと思います。

お礼

回答ありがとうございました。
この通りに解こうとしたのですが、
a>0 の時、例えば a=2 だった場合 1-a>0 に当てはめると -1>0 となってしまいます。
これはどのように考えれば良いのでしょうか？