教科書の回答の意味が良くわかりません＞＿＜ （二次曲線）

質問

αが変化するとき、
放物線ｙ＝ｘ＾２＋２ｘｃｏｓα＋Ｓｉｎ＾２αの頂点の軌跡を求めよ。

この問題よくわかりません＞＿＜
回答をみると、頂点をＸ，Ｙとしたら、
Ｘはーコサインαになぜかなって＞＿＜？？？

Ｙは、Ｙ＝sin＾２αーcos＾２αと、
昔習ったsin＾2α＋cos＾2α＝1？の公式を変形に何か似てて良くわかりません＞＿＜？？？？
誰か教えてください！オネガイします！！

（答）
頂点を（Ｘ，Ｙ）とすると、
Ｘ＝ーCosα、Ｙ＝Sin＾２αーＣｏｓ＾２α
αを消去して　　Ｙ＝１－２Ｘ＾２（－１≦Ｘ≦１）
∴ｙ＝１－２ｘ＾２（－１≦ｘ≦１）

回答No.3

hika_chan_ · ベストアンサー

y=x^2+2cosαx+(sinα)^2
こういう風に変えてみるとちょっとわかるかもしれませんね。

つぎに、これを平方完成します。
例：2x^2+4x+8
=2(x^2+2x)+8
=2{(x+1)^2-1}+8
=2(x+1)^2+6

ついでに、頂点は
x=-1
y=6

同じように
x^2+2cosαx+(sinα)^2
=(x+cosα)^2-(cosα)^2+(sinα)^2
頂点
x=-cosα
y=(sinα)^2-(cosα)^2 前後を入れ替えただけです。

あと、cosαのグラフを書くとわかるんですが、αが0→π→2πと動くとそのときの値は1→-1→1
こんな感じに変わっていきます。
もちろん、1/2や√3/2もありますが、1よりは小さい値です。
なので、　　　
-1≦cosα≦1
-1≦-cosα≦1　　すべてにマイナスをかけると1と-1が入れ替わります
-1≦x≦1　　　　頂点がx=-cosαだから置き換えます

そして、頂点はx=-cosα,y=(sinα)^2-(cosα)^2
ここで、(sinx)^2+(cosx)^2=1これを使います。
y={1-(cosα)^2}-(cosα)^2
=1-2(cosα)^2 ここで、-x=cosα(頂点のx)を入れちゃいます
=1-2(-x)^2
=1-2x^2
よって、軌跡はy=1-2x^2 (-1≦x≦1)

ちなみに、頂点の軌跡と来たら、頂点の座標を書いて、どうにかy座標にねじ込めないかを考えます。
たいてい簡単に入ると思われるので出来ると思います。あと、一番上にcosαxと書きましたが、このように書くと、cosθ　θ=αx こんな感じに間違われちゃう時もあるので、xcosαって書いたりします。

お礼

返事書いていただいて、どうもありがとうございました！！おかげで、わかりました！！　本当にありがとうございました！！！

回答No.2

theisman

二次曲線の頂点ですから、

y = (x - a )^2 + b

の形に整理しましょう。そうすれば、頂点座標(a,b)が出てきます。

回答No.1

tatsumi01

ある程度ご自分で考えた経過が書いてあるので回答します。
X=-cosα だから X^2=cos^2α
sin＾2α＋cos＾2α＝1 だから sin＾2α＝1-cos＾2α
Y＝sin^2α-cos^2α=1-2cos^2α
これを上の X^2 で書き換えます。

補足

どうして、X=-cosαなのですか？＞＿＜