慣性モーメントの問題

質問

長方形の板
2a×2b×c（厚さ）
質量m、密度は一様で重心を通り、
盤面に垂直な軸の周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題なんですが、分からないのでどなたか
教えてください、よろしくお願いします!

回答No.1

Teleskope · ベストアンサー

丸投げに近いご質問なので、ヒントだけを書きます。

回転軸が板と平行な場合の I は習ってあるはずですよね。

　　　　軸
┏━━┿━━┓
┃ 　 　｜ 　 　┃
┗━━┿━━┛

これも。
┏━━━━━┓
╂─────╂軸
┗━━━━━┛

で、直交座標(x,y,z,zは画面に垂直)において、

　　＿＿＿＿＿＿ y軸
　　|＼　　　　 |
　　|　 ＼　　　|
　　|　　　＼　 |
　　|　　　　 ＼|
　　|￣￣￣￣
　 x軸

　(斜めの長さ)^2 = (縦の長さ)^2 ＋(横の長さ)^2
はわかりますよね。
　x軸まわりの Ｉ の計算は (横の長さ)^2 を使って公式を出したはずです。　y軸まわりの方も同じですよね。
　で、欲しい z軸まわりの計算は上図の 斜め、(斜め)^2 ですよね、すると、超簡単な結論が‥‥
　補足の欄にお考えになった結果をお書き下さい、質問者の考察の跡が見られないと削除される規定なのです。

お礼

質問に答えていただき、またわかりやすいヒント
ありがとうございます。

この問題で自分の基礎学力のなさを実感したので
物理学を一からやり直そうと思います。

補足

I=∬∫ρr^2 dxdydz

=ρ∫(c～0)dz∫(a～-a)∫(b～-b)(x^2y^2)dxdy

=ρc{∫(a～-a)∫(b～-b)(x^2) dxdy +
∫(a～-a)∫(b～-b)(y^2) dxdy}

=ρc{∫(b～-b)dy + ∫(a～-a)(x^2) dx +
∫(a～-a)dx + ∫(b～-b)(y^2) dy}

=ρc{2b・[x^3/3](a～-a) + 2a・[y^3/3](b～-b)}

=2ρc{b・2/3・a^3 + a・2/3・b^3}

=ρ・4abc・1/3・(a^2+b^2)

=m/3(a^2+b^2)

一人では解けなかったので、手伝ってもらって
この結果が出ました。

回答No.2

yu-fo

横槍です．
私はそもそも「慣性モーメント」をよく理解していませんです(^^;
No.1 Teleskope様のアドバイスを基に自分なりの考察を書いてみます．

疑問１
慣性モーメントの定義式は、以下の式であっているか？
Ｉ＝∫r^2dm＝∫ρr^2dV

疑問２
「密度は一様で」ってことは、密度は未知数？
ｍ＝ρＶ　→　ρ＝ｍ/Ｖ＝ｍ/(2a×2b×c)＝ｍ/(4abc)

疑問３
体積Ｖを積分であらわすと、以下の式であっているか？
そもそも積分の順序が間違っているかもしれない．．．
Ｖ＝∫dV＝∫(0→c)∫(-b→b)∫(-a→a)dxdydz

疑問４
盤面(x-y平面)上の位置(？)は以下の式で表せるはず？(Teleskope様感謝)
r^2＝x^2+y^2

おぉ！これらを組み合わせればいいのか？
Ｉ＝∫ρr^2dV＝∫ρ(x^2+y^2)dV
　＝∫(0→c)∫(-b→b)∫(-a→a)ρ(x^2+y^2)dxdydz

んん．．．困った、この先が計算できない(^^; 基礎学力が不足してる．．．

(続き)＝ρ∫(0→c)∫(-b→b){(2/3)a^3+2ay^2}dydz
　＝ρ∫(0→c){(4/3)a^3b+(4/3)ab^3}dz
　＝(4/3)ρ{a^3bc+ab^3c}
　＝(1/3)ｍ(a^2+b^2)

こんなんでました．まったくもって自信なし．

お礼

質問に答えていただきありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。自分も基礎学力がないことを改めて実感しました。