高次方程式の解法を教えてください

質問

1、x^4+x^3-x-1

2, x^4-5x^3+5x^2+5x-6

子どもに聞かれて参考書を読んでみたのですが、さっぱりわかりません。
１の問題では、例えばx^2を一つの文字としてXと置くやり方だと、x^4がX^2 になるのはいいとして、x^3をどう表すのか不明です。X^(2+1) になるのでしょうか？
中学数学の知識しかない私が理解できるように教えていただけたら幸甚です。

回答No.7

KENZOU · ベストアンサー

大変お困りのご様子ですね。高次方程式の解き方は一筋縄ではいかないものです。因数分解の知識があれば解法を掴みやすいということもありますが。。。
さて、問題1)はguumannさんがお答えされているようにxの偶数項と奇数項に括り直してやりましょう。すなわち、
x^4+x^3-x-1=(x^4-1)+(x^3-x)と括りなおすことができますね。右辺の最初の括弧がxの偶数項（-1は-1・x^0で0は偶数です）、次の括弧はxの奇数項です。そうすると
x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)、x^3-x=x(x^2-1)
と展開できますから
与式=(x^2-1)(x^2+x+1)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)
となります。
問題2）は因数定理を使いましょう。大抵この種の問題はx=1かx=-1となるようなケースが多い（問題1もそうですね。以下を参照して再度TRYしてみてください）ので与式にx=1を代入してやると確かに0となる。しめたということでx-1で割り算してやると
x^4-5x^3+5x^2+5x-6=(x-1)(x^3-4x^2+x+6)
次にx^3-4x^2+x+6をじっと睨んでx=-1を代入してやると0となる。そこでx+1で割ってやると
x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3)
だから与式=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)
となりますね。

お礼

ご回答ありがとうございました。KENZO様はじめ皆様に御礼申し上げます。
子どもがいきなり理科系に進学したいと言い始め、家庭教師を雇う余裕がないので、やむなく私が教えることになりました。
数学から離れ早数十年・・・参考書に頼ろうにも「こうなるのはわかっているよね」という感じで先に進むので、解答を読んでもわからず、途方に暮れておりました。
皆様のような方こそ、数学が苦手な人のために参考書を書いていただきたいと思います。
また質問させていただくことになると思いますが、よろしくお願い申し上げます。

回答No.6

boyon_00

＃３さんへの回答のところの件ですが、
x^4+x^3-x-1 をx-1 で割るとしっかり割り切れます。
恐らく、プラスとマイナスを間違えて計算している
はずなので、もう一度試してみてください。

因数定理は便利ですが、先に割る共通因子によっては
逆に分かりづらい商になることもあります。
1.の問題、試しにx+1でも割ってみてください。
出てきた商を見るとすぐ分かると思います。

回答No.5

info22

#3さんの回答の因数定理を使うのがいいですね。
最高次の4次の項の係数が1であることを考えれば、
定数項のを素因数分解した数値の積に±の符号をつけたものが因数定理で調べる数の候補になります。
その中でf(x)=0となる場合を見つけてください。
因数が見つかればf(x)を因数多項式で割った商の多項式を求めてやれば、全ての因数の積と商との積に因数分解できることになります。

1.の場合では
定数項が「-1」ですので、f(1),f(-1)が調べる候補になります。
f(a)=0,f(b)=0となればf(x)=(x-a)(x-b)(x^2+Ax+B)
の形に因数分解できるわけですね。

2.の場合では
定数項が「-6」ですから、6=1x2x3ですから、f(1),f(-1),f(2),f(-2),f(3),f(-3),f(6),f(-6)が調べる候補になります。f(a)=0,f(b)=0,f(c)=0,f(d)=0となったとすれば
f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)と因数分解できるわけですね。

回答No.4

guuman

偶数項と奇数項に分けてそれぞれを因数分解してみてください

回答No.3

sunasearch

一般に因数定理を使います。

お子さんは高校で習っているはずです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86

１番ならｆ（ｘ）＝x^4+x^3-x-1とおくと、
ｆ（１）＝１＋１－１－１＝０なので
（ｘ－１）で因数分解できる、というものです。

補足

ご回答ありがとうございます。

x^4+x^3-x-1 を　x-1 で割ると
商がx^3+2x^2-2x-3 であまりが　－４　になったのですが・・・。

どこが違うのかおわかりの方がいらっしゃればお願いします。

回答No.2

boyon_00

高次方程式　とありますが、方程式になっていない(両辺が存在しない)ので、因数分解の問題だと思います。とはいえ、高次方程式を解く場合は、多くの場合因数分解を行うことになりますが。

1.に関しては、x^2を一つの文字、といった考えではなく、もっと広く見渡して同じ固まり（共通因子）ができないか、を見てください。とあるところに着目すればすぐに解けるはずです。

2.も、一見するとすごく難しく見えますが、共通因子があります。探してみてください。

この手の問題はとにかくたくさん解いて、勘をつかむのが大事です。もし難しいと感じてきたら、少し前の問題に戻ってみるのも良いかもしれません。

回答No.1

uvgHS7Kk

4次以上の方程式には解法は質問者のおっしゃるように、x^2をXと置く方法もありますが、これは偶数次の項のみ存在するときに有効です。

原則として高次の項に着目するのがうまいやり方ですが、ケースバイケースです。同じ形を無理やりつくるとでもいいましょうか。

あまり回答をごちゃごちゃ書くと注意されそうですので、ヒントだけ書きますね。

１.は、x^4+x^3=x^3*(x+1)、とくくれば、うしろの項は-x-1=-(x+1)ですから、(x+1)でくくれます。

２.はちょっと難解ですが、
5x^2=6x^2-x^2とすれば、x^2-5x+6でくくることができます。

ちなみに、少し細かいことをいっておくと、１．２．ともに、高次式ではありますが、高次方程式ではありません。
方程式とは　（なんとか）＝０、の形のものです

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
解答を示すのではなく、ヒントを提示していただき、自分なりに考えることができました(雑用しながらでしたが・・・)。もしよかったらまた質問に答えてやってください。それと数学用語も少しずつ覚えます(^^ゞ。